Модуль 3 Тема 5. Ряди

Числовий ряд, його сума, збіжність. Необхідна умова збіжності ряду. Властивості збіжних рядів. Критерій Коші збіжності ряду.

Ряди з невід’ємними членами. Метод виділення головної частини члена ряду.

Ознаки Даламбера і Коші для рядів з невід’ємними членами. Інтегральна ознака збіжності рядів з невід’ємними членами.

Знакозмінні ряди. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Властивості абсолютно збіжних рядів. Ознаки Даламбера і Коші для довільних числових рядів. Підсумовування рядів методом середніх арифметичних.

Степеневі ряди. Радіус збіжності і круг збіжності степеневого ряду. Формула Коші-Адамара для радіуса збіжності.

Аналітичні функції. Почленне диференціювання і почленне інтегрування степеневого ряду.

Розклад функцій в степеневі ряди. Різні форми залишкового члена формули Тейлора.

Тема 6. Ряди Фур’є. Інтеграл Фур’є.

Ортогональні і ортонормовані системи. Тригонометрична система функцій і її властивості. Ряд Фур’є. Властивість коефіцієнтів ряду Фур’є. Інтеграл Діріхле. Принцип локалізації.

Збіжність рядів Фур’є в точці. Ознака Діні збіжності рядів Фур’є. Підсумовування рядів методом середніх арифметичних. Сума і ядро Фейєра.

Характер збіжності рядів Фур’є. Інтегрування і диференціювання рядів Фур’є. Ряди Фур’є у випадку довільного інтервалу. Комплексна форма рядів Фур’є.

Перетворення Фур’є. Властивості перетворення Фур’є абсолютно інтегрованих функцій. Перетворення Фур’є похідних. Похідна перетворення Фур’є функції.

Модуль 4

Тема 7.Функції багатьох змінних

Множини на площині і в просторі. Віддаль між точками в n-мірному просторі. Околи точок. Границя послідовності точок. Необхідна і достатня умова збіжності послідовності.

Функції багатьох змінних. Границя функції. Неперервність функції в точці. Неперервність композиції неперервних функцій.

Неперервність функції на множині. Теореми про функції, неперервні на множинах. Рівномірна неперервність. Модуль неперервності.

Частинні похідні і частинні диференціали. Диференційованість функції в точці. Диференціал функції.

Диференціювання складної функції. Інваріантність форми першого диференціала. Основні закони диференціювання.

Геометричний зміст частинних похідних і повного диференціала. Градієнт функції. Похідна за напрямом.

Частинні похідні і диференціали вищих порядків. Формула Тейлора.

Локальні екстремуми функції багатьох змінних. Необхідні умови локального екстремуму. Достатні умови локального екстремуму. Критерій Сильвестра.

Визначення умовного екстремуму. Метод Лагранжа знаходження умовного екстремуму. Найбільше та найменше значення функції в замкнутій області.

Неявні функції. Існування і диференційованість неявно заданої функції. Частинні похідні. Особливі точки поверхні і плоскої кривої.

Неявні функції, задані системою рівнянь. Існування і диференційованість неявних функцій, заданих системою рівнянь. Якобіан функцій. Частинні похідні.

Тема 8. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

Означення подвійного інтегралу і умови його існування. Властивості інтегрованих функцій і подвійних інтегралів. Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах.

Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах. Заміна змінних у подвійному інтегралі.

Потрійний інтеграл і умови його існування. Властивості інтегрованих функцій і потрійних інтегралів. Обчислення потрійних інтегралів.

Застосування кратних інтегралів для обчислення площ і об’ємів.

Криволінійні інтеграли першого роду. Визначення, властивості та обчислення.

Криволінійні інтеграли другого роду. Визначення, властивості та обчислення. Зв’язок між криволінійними інтегралами першого і другого роду.

Односторонні та двосторонні поверхні. Орієнтація поверхні. Площа поверхні та її обчислення. Поверхневі інтеграли 1-го роду, їх властивості та обчислення.

Поверхневі інтеграли другого роду. Формула Стокса і її застосування.

Формула Гауса-Остроградського. Застосування формули Гауса-Остроградського для обчислення поверхневих інтегралів.