Завдання для самостійної роботи студентів

Теми для самостійної роботи студентів відповідають темам лекцій та практичних занять. Самостійна робота студентів складається із виконання завдань на засвоєння лекційного матеріалу до кожної теми, а також із виконання домашніх завдань після кожного практичного заняття.

До самостійної роботи студентів відноситься також і виконання контрольних домашніх робіт.

Практичні заняття Тема 1. Теорія дійсних чисел

Операції над множинами. Еквівалентні і нееквівалентні множини. Висловлювання. Операції над висловлюваннями. Логічні оператори, знаки загальності та існування.

Тема 2. Границя і неперервність функції

Способи задання послідовностей. Зростаючі і спадні послідовності. Обмежені і необмежені послідовності. Границя послідовності і її властивості.

Монотонні послідовності. Нескінченно великі і нескінченно малі послідовності. Критерій Коші збіжності послідовності. Обмеженість збіжних послідовностей.

Арифметичні операції над послідовностями. Властивості границь, зв’язаних з операціями над послідовностями. Граничний перехід в нерівностях.

Часткові границі послідовностей. Теорема Больцано-Вейєрштраса. Верхня і нижня границі послідовностей.

Границя функції в точці. Граничний перехід в операціях над функціями і нерівностях. Границя композиції функцій.

Односторонні границі. Часткові границі. Порівняння функцій. Символи О(f),o(f).

Неперервність функції в точці. Точки розриву функції. Властивості функцій, неперервних в точці.

Тема 3. Диференціальне числення

Похідна функції. Похідні основних елементарних функцій. Обчислення похідних, зв’язаних з арифметичними діями над функціями. Похідна складної функції.

Похідна оберненої функції. Похідна функції, заданої параметрично. Похідна функції, заданої неявно.

Диференціал функції. Властивості диференціала. Геометричний і фізичний зміст похідної і диференціала.

Похідні і диференціали вищих порядків. Похідні і диференціали для функцій, заданих параметрично і неявно.

Формули Тейлора і Маклорена. Розвинення функцій в ряди Тейлора і Маклорена.

Умови зростання і спадання функцій. Екстремуми функцій. Умови випуклості. Точки перегину.

Побудова графіків.

Тема 4. Інтегральне числення

Невизначений інтеграл. Загальні прийоми і методи інтегрування. Заміна змінних. Інтегрування по частинах.

Інтегрування раціональних функцій. Метод Остроградського.

Інтегрування ірраціональних функцій.

Інтегрування трансцендентних функцій.

Визначений інтеграл. Обчислення визначених інтегралів з допомогою інтегральних сум.

Заміна змінних. Інтегрування по частинах. Теореми про середнє значення.

Обчислення площ плоских фігур і довжин кривих.

Невласні інтеграли від необмежених функцій. Основні формули інтегрування. Ознаки збіжності.

Невласні інтеграли з необмеженими границями інтегрування. Основні формули інтегрування. Ознаки збіжності.

Тема 5. Ряди

Числові ряди. Збіжність ряду, сума ряду. Необхідна ознака збіжності. Критерій Коші збіжності ряду.

Критерій збіжності ряду з невід’ємними членами. Ознаки порівняння рядів. Інтегральна ознака збіжності ряду.

Абсолютно збіжні ряди. Знакозмінні ряди. Ознаки Діріхле і Абеля.

Умовно збіжні ряди. Сума і добуток рядів.

Степеневі ряди. Радіус збіжності і круг збіжності степеневого ряду. Диференціювання і інтегрування степеневого ряду. Обчислення суми ряду.

Ряд Тейлора. Залишковий член ряду Тейлора.