Зміст дисципліни за модулями

Модуль 1

Тема 1. Множини, теорія дійсних і комплексних чисел та вступ до аналізу елементарних функцій

Множини та числові множини, приклади множин, елементи множин. Операції над множинами. Об’єднання , перетин, різниця множин. Множина дійсних чисел. Раціональні та ірраціональні числа. Властивості множин раціональних та дійсних чисел. Логічні оператори.

Комплексні числа і дії з ними. Геометрична інтерпретація комплексного числа. Формула Ейлера та Муавра. Розв’язування степеневих рівнянь у комплексних числах.

Окіл точки. Межі числових множин, sup та inf множин.

Функції. Область визначення функції. Множина значень функції. Способи задання функції. Основні властивості функцій. Монотонні, парні, непарні та періодичні функції.

Тема 2. Границя і неперервність функцій

Числові послідовності. Збіжні та розбіжні послідовності. Границя послідовності.

Властивості збіжних послідовностей та їх границь. Нескінченно великі та нескінченно малі числові послідовності. Монотонні послідовності. Властивості границь монотонних послідовностей.

Верхня і нижня границі послідовностей. Число е та його обчислення. Підпослідовності, часткові границі послідовностей. Теорема Больцано – Вейерштрасса . Найбільша та найменша границі.

Елементарні функції.

Обернені функції.

Границі функцій (два еквівалентних визначення). Нескінчені границі. Правосторонні та лівосторонні границі. Нескінченно великі та нескінченно малі функції. Властивості границь, граничний перехід і арифметичні операції над функціями.

Неперервні функції. Операції над неперервними функціями. Неперервність складної функції. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація. Властивості неперервних функцій на відрізку. Теореми Вейєрштрасса. Теорема Кантора про рівномірну неперервність. Монотонні функції. Існування і неперервність оберненої функції.

Тема 3. Диференціальне числення.

Похідна функції, її механічний та геометричний зміст. Односторонні похідні функції. Похідні елементарних функцій.

Обчислення похідних суми, добутку і частки функцій.

Похідна композиції функцій. Похідна оберненої функції. Диференціал функції, диференціал складної функції, інваріантність форми першого диференціалу.

Теореми Ферма, Дарбу, Ролля, Лагранжа, Коші.

Похідні вищих порядків. Диференціали вищих порядків.

Формула Тейлора. Обчислення границь за допомогою формули Тейлора та правил Лопіталя.

Дослідження функцій методом диференціального числення. Ознаки монотонності та опуклості, точки перегину. Найменше та найбільше значення функції, асимптоти функцій

Модуль 2

Тема 4. Інтегральне числення.

Первісна функція і невизначений інтеграл. Основні властивості невизначеного інтегралу. Таблиця інтегралів елементарних функцій. Інтегрування методом підстановки.

Інтегрування по частинах.

Інтегрування раціональних функцій.

Інтегрування простих алгебраїчних дробів.

Інтегрування раціональних функцій методом Остроградського.

Інтегрування тригонометричних функцій.

Визначений інтеграл. Теорема про існування визначеного інтегралу, суми Дарбу. Властивості визначеного інтегралу. Теорема про середнє значення визначеного інтегралу.

Похідна від визначеного інтегралу із змінною верхньою границею. Формула Ньютона–Лейбніца. Інтегрування по частинах.

Застосування визначеного інтегралу для обчислення площі, об’єму тіла обертання, довжини дуги кривої, площі циліндричної поверхні.

Інтеграли з параметром. Граничний перехід під знаком інтегралу. Диференціювання під знаком інтегралу. Інтегрування під знаком інтегралу.