Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_6_glava_2012-2013

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

В первом случае f композиция преобразования симметрии относительно плоскости (координатной плоскости O0y0z0) и параллельного переноса на вектор, параллельный этой плоскости. Во втором случае f композиция преобразования симметрии относительно плоскости (координатной плоскости O0y0z0) и поворота вокруг прямой (оси O0x0), перпендикулярной к этой плоскости.

Доказана следующая

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Теорема 6.74 (о несобственных изометрических преобразованиях трёхмерного пространства)

Каждое несобственное изометрическое преобразование ориентированного трёхмерного евклидово аффинного пространства есть либо композиция преобразования симметрии относительно плоскости и параллельного переноса на вектор, параллельный этой плоскости, либо композиция преобразования симметрии относительно плоскости и поворота вокруг прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Упражнение 6.76 (группа аффинных преобразований)

Композицию двух аффинных преобразований часто называют их произведением. Доказать, что множество всех аффинных преобразований фиксированного аффинного пространства является группой относительно этого произведения. Какое отображение является единицей этой группы? Укажите в этой группе обратный элемент к данному аффинному преобразованию. Покажите, что подгруппами этой группы являются следующие множества: 1) для конечномерного аффинного пространства множество всех собственных аффинных преобразований; 2) для евклидово аффинного пространства множество всех изометрических преобразований.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Упражнение 6.77 (простое отношение)

При изометрическом преобразовании расстояние между точками не меняется. В связи с этим говорят, что расстояние между точками есть инвариант для этих преобразований. Можно было бы назвать много других инвариантов для этих преобразований, например угол между прямыми, объём параллелепипеда. Расстояние между точками является не только простейшим, но и основным инвариантом, так как через него могут быть выражены все остальные. При аффинном преобразовании расстояние между точками, как правило изменяется, так что расстояние между точками не является инвариантом общего аффинного преобразования. Показать, что (простейшим и основным) инвариантом аффинного преобразования конечномерного евклидово аффинного пространства является простое отношение трёх точек на прямой. Простым отношением трёх точек A; B; C на прямой называется число (A; B; C ) = jABj=jBCj.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Упражнение 6.78 (разложение аффинного преобразования )

Доказать, что каждое аффинное преобразование в n-мерном евклидово аффинном пространстве можно разложить на n равномерных растяжения (сжатия) по n взаимно перпендикулярным направлениям и изометрическое преобразование.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Аффинные преобразования n-мерного аффинного пространства являются частным случаем более общих, так называемых проективных преобразований, задаваемых в некоторой а.с.к. формулой

в которой коэффициенты lij удовлетворяют единственному

условию: : : : : : : : : : : : : : : 6= 0.

ln+1;1 : : : ln+1;n+1

Этой формулой преобразование определено для любой фигуры F , не пересекающей гиперплоскость 1, заданной уравнением ln+1;1x1 + + ln+1;nxn + ln+1;n+1 = 0.

А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Упражнение 6.79 (проективные преобразования )

Показать, что данное определение проективного преобразования инвариантно относительно выбора а.с.к., т.е. в другой а.с.к. проективное преобразование также может быть задано формулой вида (7) со своими коэффициентами lij0 . Убедитесь, что последовательное выполнение двух проективных преобразований является проективным преобразование, обратное к проективному преобразованию снова проективное преобразование, тождественное преобразование проективное. Тем самым будет установлено, что множество всех проективных преобразований является группой относительно операции композиция, а аффинные преобразования образуют в ней подгруппу.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Упражнение 6.80 (сохранение прямолинейного расположения точек при проективном преобразовании )

Проективное преобразование обладает многими свойствами аффинного преобразования. Например, покажите, что при проективном преобразовании точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, лежащие на одной прямой. Здесь рассматриваются такие точки, для которых определено проективное преобразование, т.е. эти точки не лежат на гиперплоскости 1.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Упражнение 6.81 (ангармоническое отношение )

Простое отношение трёх точек при проективном преобразовании конечномерного евклидово аффинного пространства, вообще говоря, не сохраняется. Однако сохраняется сложное (ангармоническое) отношение четырёх точек, определяемое следущим образом. Пусть A; B; C ; D четыре точки на прямой, e ненулевой вектор, не перпендикулярный прямой. Тогда сложным (ангармоническим) отношением точек A; B; C; D (взятых в данном порядке)

это определение не зависит от выбора вектора e. Доказать, что сложное отношение четырёх точек сохраняется при проективном преобразовании.