Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_6_glava_2012-2013

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Лемма 6.28 (об образе и прообразе аффинного подпространства при аффинном отображении)

Пусть f : A ! B аффинное отображение. Тогда

1)если A1 аффинное подпространство пространства A, то f (A1) аффинное подпространство пространства B; в

частности, f (A) аффинное подпространство пространства B;

2)если B1 аффинное подпространство пространства B, то

f 1(B1) аффинное подпространство пространства A.

Упражнение 6.29 Доказать п. 2) леммы 6.28.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Теорема 6.30 (о композиции аффинных отображений)

Пусть A, B и C вещественные аффинные пространства, g : C ! A и f : A ! B аффинные отображения. Тогда

композиция f g : C ! B аффинное отображение и

! ! !

(f g) = f g .

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Теорема 6.31 (об обратном к аффинному отображению)

Пусть f : A ! B аффинное отображение. Тогда

отображение f является биективным тогда и только тогда,

! ! !

когда индуцированное отображение f : A ! B является

биективным. При этом обратное отображение f 1 : B ! A

! !

является аффинным и (f 1) = ( f ) 1.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

§ 6.4. Размерность образа аффинного отображения. Теорема Дарбу.

Теорема 6.32 (о размерности образа аффинного отображения)

Пусть A и B вещественные аффинные пространства,

dim A < 1, f : A ! B аффинное отображение. Тогда

! dim f (A) = dim A dim ker f .

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Следствие 6.33 (о размерности образа аффинного подпространства при аффинном отображения)

Пусть A и B вещественные аффинные пространства, A1 конечномерное аффинное подпространство пространства A,

f : A ! B аффинное отображение. Тогда

! ! dim f (A1) = dim A1 dim(A1 \ ker f ).

Замечание 6.34

Из леммы 6.7 и следствия 6.33 получаем, что каждое инъективное (в частности, биективное) аффинное отображение прямые отображает в прямые.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Определение 6.35 (отображения, сохраняющего прямолинейное расположение точек)

Пусть A и B вещественные аффинные пространства. Говорят, что отображение f : A ! B сохраняет прямолинейное расположение точек, если для любых трёх точек A; B; C 2 A, лежащих на одной прямой, точки f (A); f (B); f (C) также лежат на одной прямой.

Определение 6.36 (отображения Дарбу)

Биективное отображение, сохраняющее прямолинейное расположение точек, называется отображением Дарбу.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Теорема 6.37 (Дарбу)

Пусть A и B вещественные аффинные пространства, dim A = dim B 2. Тогда каждое отображение Дарбу

f : A ! B является аффинным.

Упражнение 6.38 ( )

Доказать теорему Дарбу.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Замечание 6.39 При биективном аффинном отображении f : A ! B размерности пространств A и B равны, а прямые

отображаются в прямые (см. замечание 6.34), т. е. сохраняется прямолинейное расположение точек. Тем самым в силу теоремы Дарбу получаем, что для биективных отображений аффинных пространств одинаковой (большей или равной двум) размерности условие сохранения прямолинейного расположения точек равносильно аффинности отображения.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

§ 6.5. Формула аффинного отображения.

Пусть A и B вещественные аффинные пространства, dim A = n, dim B = m, (I)= (O; E), E = (e1; : : : ; en), а.с.к.

в A, (II)= (O; E), E = (e1; : : : ; em), а.с.к. в B. Рассмотрим формулу

x1 = l11x1 + + l1nxn + b1;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : или x = Lx + b; (2) xm = lm1x1 + + lmnxn + bm;

где x = (x1; : : : ; xn)T 2 Rn, x = (x1; : : : ; xm)T 2 Rm,

01

l11 : : : l1n

L = @: : : : : : : : :A 2 Mm;n(R), b = (b1; : : : ; bm)T 2 Rm.

lm1 : : : lmn

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Пусть отображение f : A ! B определено следующим правилом. Для точки M 2 A с координатами (x1; : : : ; xn) в аффинной системе координат (I) сопоставляется точка

f (M) 2 B с координатами (x1; : : : ; xm) в аффинной системе координат (II), полученными из (x1; : : : ; xn) по формуле (2). Тогда говорят, что отображение f : A ! B задано в аффинных системах координат (I) и (II) формулой (2).