Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_6_glava_2012-2013

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Теорема 6.40 (о формуле аффинного отображения)

Пусть A и B вещественные аффинные пространства,

dim A = n, dim B = m, (I)= (O; E) а.с.к. в A, (II)= (O; E)

а.с.к. в B. Тогда

1)отображение, заданное в а.с.к. (I) и (II) формулой (2), аффинно;

2)каждое аффинное отображение пространства A в пространство B может быть задано в аффинных системах координат (I) и (II) формулой вида (2);

3)для фиксированного аффинного отображения f : A ! B формула (2), задающая отображение f в аффинных системах

координат (I) и (II) находится однозначно, при этом

! !

L = ( f (E)=E) матрица индуцированного отображения f в

базисах E и E и (b1; : : : ; bm) координаты точки f (O) в аффинной системе координат (II).

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Упражнение 6.41 ( )

Доказать утверждение 2) и 3) теоремы 6.40.

Определение 6.42 (матрицы аффинного отображения)

! ! !

Матрица L индуцированного отображения f : A ! B в базисах E и E называется матрицей аффинного отображения f : A ! B в аффинных системах координат (I) и (II).

Замечание 6.43

Столбцами матрицы L являются координаты в базисе E!

образов f (ej ) векторов базиса E. Для задания аффинного отображения f : A ! B достаточно объявить, что n + 1 аффинно независимая точка аффинного n-мерного пространства A отображается в произвольно выбранные n + 1 точку пространства B.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Отметим, что n + 1 точка n-мерного аффинного пространства является аффинно независимой тогда и только тогда, когда аффинная оболочка этих точек совпадет с аффинным пространством. Можно показать, что n + 1 точка n-мерного аффинного пространства является аффинно независимой, если, выбрав одну из этих точек, векторы, проведенные из этой точки в другие точки, образуют базис.

Замечание 6.44

В случае, когда B = A и (II)=(I), говорят, что формула (2)

задаёт аффинное отображение f : A ! A в аффинной системе

!

координат (I), а L = ( f (E)=E) является его матрицей в аффинной системе координат (I).

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Пример 6.45 (формул аффинных отображений)

1)Постоянное отображение в любых аффинных системах координат задаётся формулой x1 = c1; : : : ; xm = cm, где (c1; : : : ; cm) координаты точки-значения C этого отображения.

2)В любой аффинной системе координат n-мерного

аффинного пространства A параллельный перенос на вектор

!

a 2 A задаётся формулами x1 = x1 + a1; : : : ; xn = xn + an, где

(a1; : : : ; an) координаты вектора a. В частности, тожедественное отображение задаётся формулами

x1 = x1; : : : ; xn = xn.

3) В аффинной системе координат n-мерного аффинного пространства A с началом в центре гомотетии отображение гомотетии задаётся формулами x1 = x1; : : : ; xn = xn.

А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

4) В аффинной системе координат n-мерного аффинного пространства A с началом в центре симметрии отображение центральной симметрии задаётся формулами

x1 = x1; : : : ; xn = xn.

5) В прямоугольной системе координат (O; e1; : : : ; en) n-мерного евклидово аффинного пространства A такой, что (O; e1; : : : ; ek ) является прямоугольной системой координат подпространства A1, отображение симметрии относительно аффинного подпространства A1 задаётся формулами

x1 = x1; : : : ; xk = xk ; xk+1 = xk+1; : : : ; xn = xn.

Упражнение 6.46 Доказать утверждения примера 6.45.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Лемма 6.47 (об изменение формулы аффинного отображения при переходе к другим аффинным системам координат)

Пусть A и B конечномерные вещественные аффинные пространства, (I) и (I0) две аффинные системы координат в A, (II) и (II0) две аффинные системы координат в B,

x = Ux0 + a формулы перехода от аффинной системы координат (I) к (I0) и x = Ux0 + a формулы перехода от аффинной системы координат (II) к (II0), f : A ! B аффинное отображение, x = Lx + b формулы аффинного отображения f в аффинных системах координат (I) и (II), x0 = L0x0 + b0 формулы аффинного отображения f в

аффинных системах координат (I0) и (II0). Тогда L0 = U 1LU и b0 = U 1(La + b a).

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Определение 6.48 (неподвижной точки отображения)

Пусть A вещественное аффинное пространство. Точка M 2 A называется неподвижной точкой отображения

f : A ! A, если f (M) = M.

Пусть A n-мерное вещественное аффинное пространство. Пусть аффинное отображение f : A ! A в некоторой аффинной системе координат задано формулами x = Lx + b. Уравнение неподвижной точки равносильно уравнению (L E )x + b = 0 (системе n линейных алгебраических уравнений от n неизвестных x1; : : : ; xn), где E единичная матрица.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Условие det(L E ) 6= 0 есть условие невырожденности этой системы уравнений, т. е. условие, при котором эта система (независимо от b) имеет единственное решение. Если

det(L E ) = 0, то в зависимости от b неподвижных точек либо нет, либо их бесконечно много.

Пример 6.49 (неподвижных точек аффинных отображений)

1)Для постоянного отображения f : A ! A единственной неподвижной точкой является значение этого отображения.

2)Для тождественного отображения IA : A ! A все точки пространства A являются неподвижными.

3)Параллельный перенос на ненулевой вектор неподвижных точек не имеет.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

4) При 6= 1 центр гомотетии является единственной неподвижной точкой гомотетии.

5)Центр симметрии является единственной неподвижной точкой отображения центральной симметрии.

6)Точки подпространства A1 являются неподвижными точками отображения симметрии относительно аффинного подпространства A1.

Упражнение 6.50

Доказать утверждения примера 6.49.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

§ 6.6. Аффинные преобразования.

Определение 6.51 (аффинного преобразования)

Аффинное биективное отображение аффинного пространства в себя называется аффинным преобразованием.

Пример 6.52 (аффинных преобразований)

1)Параллельный перенос является аффинным преобразованием. В частности, тождественное отображение аффинное преобразование.

2)Гомотетия является аффинным преобразованием.

3)Центральная симметрия является аффинным преобразованием.

4)Симметрия относительно аффинного подпространства является аффинным преобразованием.