Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_6_glava_2012-2013

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

§ 6.7. Изометрические отображения.

Лемма 6.61 (о делении отрезка)

Пусть A вещественное аффинное пространство, A; B; C три различные точки в A, точка C делит отрезок [AB] в отношении . Тогда точка B делит отрезок [AC] в отношении(1 + ), точка A делит отрезок [BC] в отношении (1 + )=. При этом одно из трёх чисел , (1 + ), (1 + )= положительно.

Лемма 6.62 (о делении отрезка в отношении 0)

Пусть A метризованное вещественное аффинное пространство, A; B; C 2 A, A 6= B. Тогда точка C делит отрезок [AB] в отношении 0 тогда и только тогда, когда

jABj = jAC j + jCBj, jCBj =6 0 и = jAC j=jCBj.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Пусть A и B метризованные вещественные аффинные пространства. Отображение f : A ! B называется изометрическим, если оно сохраняет расстояние, т. е.

jf (A)f (B)j = jABj для всех A; B 2 A.

Теорема 6.63 (об аффинности изометрий)

Каждое изометрическое отображение метризованных аффинных пространств аффинно.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Теорема 6.64 (об ортогональности матрицы изометрического преобразования)

Пусть A n-мерное евклидово аффинное пространство, f : A ! A аффинное отображение. Тогда отображение f

является изометрическим преобразованием тогда и только тогда, когда его матрица в любой прямоугольной системе координат пространства A ортогональна.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

§ 6.8. Теоремы о собственных и несобственных изометрических преобразованиях плоскости.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Лемма 6.65 (о формуле поворота)

Пусть A ориентированная евклидовая плоскость, (I)= (O; E) и (I0)= (O; E0) прямоугольные системы координат в A (начало O систем координат (I) и (I0) общее), f : A ! A изометрическое преобразование, заданное в (I) формулами

x = x cos ' y sin ';

(3)

y = x sin ' + y cos ':

Тогда если базисы E и E0 одной ориентации, то f задаётся

в (I0) формулами (3), а если базисы E и E0 разной ориентации, то f задаётся в (I0) формулами

x = x cos( ') y sin( ');

(4)

y = x sin( ') + y cos( '):

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Леммой 6.65 оправдано следующее определение.

Определение 6.66 (поворота)

Поворотом на угол ' ориентированной евклидовой плоскости вокруг точки O называется преобразование, задаваемое в произвольной положительно ориентированной прямоугольной системе координат с началом в точке O формулами (3).

Тождественное преобразование плоскости является поворотом на угол ' = 0 вокруг произвольной точки O. Преобразование центральной симметрии относительно точки O является поворотом на угол ' = вокруг точки O.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Теорема 6.67 (о собственных изометрических преобразованиях плоскости)

Каждое собственное изометрическое преобразование ориентированной евклидовой плоскости является или параллельным переносом, или поворотом.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Пусть l прямая на евклидовой плоскости A. Напомним, что отображение, сопоставляющее каждой точке M 2 A точку M0, симметричную относительно прямой l, называется преобразованием симметрии относительно прямой l.

Определение 6.68 (скользящей симметрии)

Композиция преобразования симметрии относительно прямой l и параллельного переноса на некоторый вектор, параллельный прямой l, называется преобразованием скользящей симметрии.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Теорема 6.69 (о несобственных изометрических преобразованиях плоскости)

Каждое несобственное изометрическое преобразование ориентированной евклидовой плоскости является преобразованием скользящей симметрии.