Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_6_glava_2012-2013

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Упражнение 6.53

Доказать утверждения примера 6.52.

Пусть A n-мерное вещественное аффинное пространство, f : A ! A аффинное преобразование, (I)= (O; E),

E = (e1; : : : ; en), аффинная система координат в A.

При задании аффинного преобразования формулами мы будем использовать одну аффинную систему координат, т. е. всегда вторая аффинная система координат (II) совпадает с (I).

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Поэтому преобразование f задаётся в аффинной системе координат (I) формулами

где x = (x1; : : : ; xn)T и x = (x1; : : : ; xn)T соответственно координаты точек M 2 A и f (M) 2 A в аффинной системе

!

аффинного преобразования f в аффинной системе координат (I), b = (b1; : : : ; bn)T координаты точки f (O) в аффинной системе координат (I).

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Лемма 6.54 (о невырожденности матрицы аффинного преобразования)

Пусть A конечномерное вещественное аффинное пространство, (I) аффинная система координат в A,

f : A ! A аффинное отображение, L матрица аффинного отображения f в аффинной системе координат (I). Тогда f аффинное преобразование тогда и только тогда, когда

det L 6= 0.

Замечание 6.55 Из леммы 6.54 следует,!что в случае аффинного

преобразования образ f (E) базиса E является снова базисом.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Лемма 6.56 (о независимости определителя матрицы аффинного преобразования от выбора а.с.к.)

Пусть A конечномерное вещественное аффинное пространство, (I) и (I0) две аффинные системы координат

в A, f : A ! A аффинное преобразование, L и L0 матрицы аффинного преобразования f соответственно в аффинных системах координат (I) и (I0). Тогда det L0 = det L.

Лемма 6.57 (об отношении объёмов невырожденных параллелепипедов при аффинных преобразованиях)

В n-мерном евклидово аффинном пространстве отношение объёмов невырожденных n-мерных параллелепипедов при аффинных преобразованиях сохраняется.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Замечание 6.58

Лемма 6.56 утверждает, что определитель матрицы аффинного преобразования f не зависит от выбора аффинной системы координат.

Поэтому корректно следующее определение.

Определение 6.59 (собственного аффинного преобразования)

Пусть A конечномерное вещественное аффинное пространство, f : A ! A аффинное преобразование. Если определитель матрицы аффинного преобразования f в некоторой (а, следовательно, в любой) аффинной системе координат положительный, то преобразование f называется собственным, а если он отрицательный, то преобразование f называется несобственным.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Замечание 6.60

Для ориентированного аффинного пространства A прямо из

определения следует, что если преобразование f собственное,

!

то базисы f (E) и E имеют одинаковую ориентицию, т. е.

!

индуцированное отображение f сохраняет ориентацию, а если

!

преобразование f несобственное, то базисы f (E) и E имеют

!

разную ориентацию, т. е. индуцированное отображение f меняет ориентацию.

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Пусть A n-мерное вещественное аффинное пространство,

(I)= (O; E), E = (e1; : : : ; en), аффинная система координат в A.

Пусть f : A ! A аффинное преобразование. Преобразование f записывается в аффинное системе координат (I) формулами x = Lx + b, где x и x координаты

точек M 2 A и f (M) 2 A в аффинной системе координат (I),

!

L = ( f (E)=E), b координаты точки f (O) в аффинной системе координат (I).

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

аффинная система координат в A. Будем говорить, что аффинная система координат (I0) получена из аффинной системы координат (I) с помощью преобразования f . Формулы перехода от аффинной системы координат (I) к аффинной системе координат (I0) имеют вид y = Uy0 + a, где y координаты точки N 2 A в аффинной системе координат (I),

y0 координаты точки N в аффинной системе координат (I0),

!

U = ( f (E)=E) = L, a = b координаты точки f (O) в аффинной системе координат (I). Если N = f (M), то y = x и y0 = x, т. е. (новые) координаты точки f (M) в аффинной системе координат (I0) это (старые) координаты точки M в аффинной системе координат (I).

А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Теперь наоборот, пусть задана еще одна аффинная система

координат (I0)=(O0; E0), E0 = (e10 ; : : : ; en0 ), в пространсте A. Формулы перехода от аффинной системы координат (I) к

аффинной системе координат (I0) имеют вид y = Uy0 + a, где y координаты точки N 2 A в аффинной системе координат (I), y0 координаты точки N в аффинной системе координат (I0), U = (E0=E), a координаты точки O0 в аффинной системе координат (I). Тогда, задавая аффинное преобразование f : A ! A в аффинной системе координат (I)

формулами x = Lx + b, где x и x координаты точек M 2 A и f (M) 2 A в аффинной системе координат (I), L = U и b = a, мы получим, что f (O) = O0 и !f (E) = E0. Тем самым, аффинная система координат (I0) получается из аффинной системы координат (I) с помощью преобразования f .

Гл. 6. Аффинные отображения и преобразования

Следовательно, любая аффинная система координат может быть получена из заданной аффинной системы координат с помощью некоторого единственного аффинного преобразования.

Поэтому все термины, которые мы будем вводить и использовать для аффинного преобразования, мы будем также использовать для аффинной системы координат, полученной из исходной аффинной системы координат с помощью этого преобразования.