Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-2
.pdf
Пусть V векторное пространство.
Мы хотим иметь возможность любой вектор a 2 V записывать как линейную комбинацию
a = 1e1 + 2e2 + : : : + mem
фиксированного набора векторов
e1; e2; : : : ; em 2 V (желательно однозначно)
Мы уже выяснили за счёт чего можно добиться однозначности (единственности) разложения
за счёт линейной независимости векторов e1; e2; : : : ; em .
() |
Лекция 2 |
10 сентября 2011 г. |
21 / 28 |
Вопрос о существовании разложения решим, введя новое понятие.
Определение
Множество векторов e1; e2; : : : ; em 2 V называется полным, если любой вектор a 2 V линейно выражается через e1; e2; : : : ; em :
a = 1e1 + 2e2 + : : : + mem .
Определение
Векторное пространство называется конечномерным, если существует конечное полное множество векторов.
Бесконечномерные пространства существуют.
() |
Лекция 2 |
10 сентября 2011 г. |
22 / 28 |
Резюме
Вектор a = 1a1 + 2a2 + : : : + mam
называется линейной комбинацией векторов
a1; a2; : : : ; am с коэффициентами 1; 2; : : : ; m .
Говорят также, что вектор a линейно выражается через векторы a1; a2; : : : ; am .
Линейная комбинация
a = 1a1 + 2a2 + : : : + mam
называется тривиальной , если 8j j = 0 .
Линейная комбинация
a = 1a1 + 2a2 + : : : + mam
называется нетривиальной , если 9 j0 6= 0 .
() |
Лекция 2 |
10 сентября 2011 г. |
23 / 28 |
Векторы a1; a2; : : : ; am называются линейно зависимыми , если при некоторой нетривиальной линейной комбинации (9 j0 6= 0) выполняется 1a1 + 2a2 + : : : + mam = 0 .
Векторы a1; a2; : : : ; am называются линейно независимыми , если 
при любой нетривиальной линейной комбинации (9 j0 6= 0) выполняется 1 a1 + 2 a2 + : : : + m am 6= 0 .
Утверждение
Векторы a1; a2; |
: : : ; am 2 V линейно зависимы |
() |
||
некоторый из них |
aj0 линейно выражается через остальные |
|||
m |
|
|
|
|
aj0 = j=1X; j6=j0 jaj . |
|
|||
|
|
|
|
|
() |
|
Лекция 2 |
|
10 сентября 2011 г. 24 / 28 |
Утверждение
Пусть вектор a есть линейная комбинация векторов
a1; a2; : : : ; am , т.е. a = 1a1 + 2a2 + : : : + mam . Тогда
А) если векторы a1; a2; : : : ; am линейно независимы,
то коэффициенты 1; 2; : : : ; m определены однозначно; Б) если же векторы a1; a2; : : : ; am линейно зависимы,
то коэффициенты 1; 2; : : : ; m определены неоднозначно.
Определение
Множество векторов e1; e2; : : : ; em 2 V называется полным, если любой вектор a 2 V линейно выражается через e1; e2; : : : ; em :
a = 1e1 + 2e2 + : : : + mem
Определение
Векторное пространство называется конечномерным, если существует конечное полное множество векторов.
Правильный многогранник Платоново тело
Многогранник называется правильным, если:
он выпуклый
все его грани являются равными правильными многоугольниками
в каждой его вершине сходится одинаковое число граней
все его двугранные углы равны
Существует всего пять правильных многогранников:
() |
Лекция 2 |
10 сентября 2011 г. |
26 / 28 |
|
число граней |
число вершин |
|
|
|
тетраэдр |
4 |
4 |
|
|
|
куб |
6 |
8 |
|
|
|
октаэдр |
8 |
6 |
|
|
|
додекаэдр |
12 |
20 |
|
|
|
икосаэдр |
20 |
12 |
|
|
|
() |
Лекция 2 |
10 сентября 2011 г. |
27 / 28 |
Старшие размерности.
В четырёхмерном пространстве всего существует 6 правильных многогранников.
В пространстве размерности более 4 существует только 3 правильных многогранника:
n-мерный симплекс, n-мерный октаэдр, n-мерный куб.
() |
Лекция 2 |
10 сентября 2011 г. |
28 / 28 |