Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-15
.pdf
Векторное произведение базисных векторов (не ортонормированных)
Пусть |
e1; e2; e3 произвольный базис, |
|
|
|
|
|
|||||||||
gjk = hej; eki метрические коэффициенты, |
|
|
|
||||||||||||
G = |
gjk |
|
матрица Грама, |
e1 |
e2 e3 |
= |
e1 |
e2 e3 |
G |
||||||
e |
1 |
; e |
2 |
|
3 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
||
|
; e |
|
сопряжённый базис, |
hej; e |
|
i = jk . |
|
|
|
||||||
Утверждение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
e1 e2 = (e1; e2; e3)e3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
e2 e3 |
= (e1; e2; e3)e1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
e3 e1 |
= (e1; e2; e3)e2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 15 |
10 декабря 2011 г. |
31 / 34 |
Координаты векторного произведения в произвольном базисе
a = a1e1 + a2e2 + a3e3 b = b1e1 + b2e2 + b3e3
a b d = d1e1 + d2e2 + d3e3 = d1e1 + d2e2 + d3e3
|
d1 |
3 |
|
d1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2d2 |
= G |
2d2 |
, |
|
G матрица Грама. |
||||||
4d3 |
5 |
|
4d3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b = (e1; e2; e3) |
|
e1 |
e2 e3 |
= |
|||||
|
a1 |
a2 a3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (e1 |
; e2 |
b1 a2b2 a3b3 |
|
|
a1 a3 |
|
e2 |
+ |
|
a1 a2 |
|
e3) . |
|||
; e3)( b2 |
b3 |
|
e1 |
|
b1 b3 |
|
|
b1 b2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 15 |
10 декабря 2011 г. |
32 / 34 |
Т.о., координаты векторного произведения
a b d = d1e1 + d2e2 + d3e3 = d1e1 + d2e2 + d3e3
равны: d1 = (e1; e2; e3) |
|
a2 |
a3 |
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||
b2 |
b3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
2 |
|
|
d2 = (e1 |
; e2; e3) |
|
|
a |
|
|
, |
|
|
|
|
|
a |
. |
||||
b1 |
b3 |
d3 = (e1; e2; e3) |
b1 |
b2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d1 |
3 = G |
d1 |
3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2d2 |
2d2 |
|
|
|
G матрица Грама. |
|
|
|
|
|
||||||||
4d3 |
5 |
4d3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 15 |
10 декабря 2011 г. |
33 / 34 |
Смешанное произведение в произвольном базисе
Пусть |
e1; e2; e3 базис, |
|
a1; a2; a3 векторы; |
||||||
aj = aj1e1 + aj2e2 + aj3e3 , |
j = 1, 2, 3 |
||||||||
a1 |
a2 |
a3 |
= e1 |
e2 |
e3 |
|
2a21 |
a22 |
a233. |
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
a1 |
a2 |
a3 |
= e1 |
e2 |
e3 |
A . |
Обозначим (e1; e2; e3) = . |
||
Тогда (a1; a2; a3) = (e1; e2; e3) det A .
(a1; a2; a3) = det |
2a21 |
a22 |
a23 |
3 . |
|
a11 |
a12 |
a13 |
5 |
|
4a31 |
a32 |
a33 |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 15 |
10 декабря 2011 г. |
34 / 34 |