Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-15
.pdf
Координаты векторного произведения в произвольном базисе
a = a1e1 + a2e2 + a3e3 b = b1e1 + b2e2 + b3e3
a b d = d1e1 + d2e2 + d3e3 = d1e1 + d2e2 + d3e3
d1 |
3 |
|
d1 |
3 |
|
2d2 |
= G |
2d2 |
, G матрица Грама. |
||
4d3 |
5 |
|
4d3 |
5 |
|
a b =
n o
= (e1; e2; e3) (a2b3 a3b2)e1 + (a3b1 a1b3)e2 + (a1b2 a2b1)e3 =
= (e1; e2 |
; e3)( b2 |
b3 |
|
e1 b1 |
b3 |
e2 |
+ |
|
b1 |
b2 |
e3) |
= |
||||||
|
|
|
|
a2 |
a3 |
|
|
|
|
a1 |
a3 |
|
|
a1 |
a2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (e1; e2 |
; e3) |
|
e1 e2 |
e3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a1 |
a2 |
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 15 |
10 декабря 2011 г. |
21 / 34 |
Итак, a |
|
b = (e1; e2; e3) |
|
e1 |
e2 |
e3 |
|
= |
|
a1 |
a2 |
a3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (e1; e2 |
|
|
|
|
a2 ab3 |
|
b |
|
ba1 a3 |
|
e2 |
+ |
|
a1 a2 |
e3) . |
|||||||||||
|
; e3)( b2 b3 |
e1 |
b1 |
b3 |
|
|
b1 |
b2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о., координаты векторного произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a b d = d1e1 + d2e2 + d3e3 = d1e1 + d2e2 + d3e3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
a3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равны: d1 = (e1; e2; e3) b2 |
|
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
a |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
|
2 |
|
|
|
||
d2 = (e1 |
|
|
|
|
|
|
d3 |
|
|
|
|
; e3) |
|
|
a |
|
. |
|
|
||||||||
; e2; e3) b1 |
b3 , |
= (e1; e2 |
b1 |
|
b2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d1 |
3 = G |
d1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2d2 |
2d2 |
, G матрица Грама. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4d3 |
5 |
4d3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Смешанное произведение в произвольном базисе
Пусть |
e1; e2; e3 базис, |
|
a1; a2; a3 векторы; |
||||||
aj = aj1e1 + aj2e2 + aj3e3 , |
j = 1, 2, 3 |
||||||||
a1 |
a2 |
a3 |
= e1 |
e2 |
e3 |
|
2a21 |
a22 |
a233. |
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
a1 |
a2 |
a3 |
= e1 |
e2 |
e3 |
A . |
Обозначим (e1; e2; e3) = . |
||
В силу теоремы 2e (лекция 14) имеем:
(a1; a2; a3) = (e1; e2; e3) det A .
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
3 . |
Таким образом, |
(a1; a2; a3) = det |
2a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
4a31 |
a32 |
a33 |
5 |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 15 |
10 декабря 2011 г. |
23 / 34 |
Утверждение
Пусть e1; e2; e3 и e1; e2; e3 сопряжённые базисы: hej; eki = jk ;
1
и пусть (e1; e2; e3) = , тогда (e1; e2; e3) = .
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 15 |
10 декабря 2011 г. |
24 / 34 |
Резюме
Определение
Базис e1; e2; : : : ; en называется сопряжённым
(ещё двойственным или взаимным) базису e1; e2; : : : ; en,
|
2e2 |
3 |
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
k |
|
|
e1 |
7 |
e |
|
|
|
|
|
= I , |
|
|
если |
6 ... |
|
e |
|
e |
|
hej; e i = jk . |
||||
|
6e |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
n7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для любого базиса e1; e2; : : : ; en существует единственный 
сопряжённый ему базис e1; e2; : : : ; en.
Для ортонормированного базиса |
h1; h2; : : : ; hn |
|
|
||||||
сопряжённый базис равен этому же базису. |
|
|
|
||||||
Теорема |
|
|
|
|
|
|
|
||
e1 = |
e2 e3 |
, |
e2 = |
|
e3 e1 |
, |
e3 = |
e1 e2 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
(e1; e2; e3) |
|
(e1; e2; e3) |
|
(e1; e2; e3) |
||||
Исходный базис является сопряжённым базисом для сопряжённого базиса.
Утверждение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e1 |
e2 |
: : : |
en |
|
= e1 |
e2 |
: : : |
en |
G 1 |
|||
|
e2 |
: : : |
|
|
1 |
e |
2 |
: : : |
e |
n |
|
|
e1 |
en = e |
|
|
|
G, |
|||||||
где |
матрица Грама базиса e1; e2; : : : ; en. |
|||||||||||
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 15 |
10 декабря 2011 г. |
26 / 34 |
Любой вектор ! можно разложить по любому базису x
! |
1 |
+ x2e |
2 |
+ : : : + xne |
n |
x = x1e |
|
|
|
||
числа xj |
|
(координаты в исходном базисе) |
|||
будем называть |
контравариантными координатами. |
|||||
! |
1 |
e1 |
2 |
e2 + : : : + x |
n |
en |
x = x |
+ x |
|
||||
числа xj (координаты в сопряжённом базисе) будем называть ковариантными координатами.
Так как, |
e1 |
e2 |
: : : en |
= e1 e2 : : : en G то, |
||||
x1 |
3 |
|
|
|
x1 |
3 |
|
|
2x2 |
|
|
2x2 |
связь между ковариантными и |
||||
6x |
7 |
= G |
6xn7 |
контравариантными координатами. |
||||
6 ... |
7 |
6 |
... |
7 |
||||
6 n7 |
|
|
6 |
|
7 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 15 |
10 декабря 2011 г. |
27 / 34 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
! |
|
|
j |
|
|
|
hjj |
; ek |
i |
|
|
jjk |
|
|||||||||
Вычисление координат вектора |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
! |
|
|
1 |
+ x e |
2 |
+ : : : + x e |
n |
|
e |
|
|
|
|
j x = h! |
|
i , |
|
||||||||||||||||||||||||||
x = x e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j xj |
|
|
|
|
x ; e |
ji . |
|
|||||||||||||||||||||||||
! |
1 |
e1 |
|
2 |
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
en |
e |
j |
|
|
|
= h! |
|
|
|||||||||||||||||||||
x = x |
+ x |
+ : : : + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ; e |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Использование ковариантных координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
при вычислении скалярного произведения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
|
y = y1 e |
1 |
+ y2e |
2 |
+ : : : + yne |
n , |
yj |
= |
|
y ; ej |
i . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h! |
|
|
|
|
||||||||||||
Тогда |
|
|
|
x ; y |
|
|
|
= |
x ; y1e |
1 |
+ y2e |
2 |
+ : : : + yne |
ni |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
h! !i |
|
|
h! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x1y1 + x2y2 + : : : + xnyn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Итак, |
|
|
|
x ; y |
|
|
= x |
y1 + x |
|
y2 + : : : + x |
|
yn |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
h! !i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Аналогично, |
|
|
x ; y |
|
|
= x1y |
1 |
+ x2y |
2 |
+ : : : + xny |
n . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
h! !i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
В частности, |
x ; x |
|
= |
|
x |
2 |
= x1x |
1 |
+ x2x |
2 |
+ : : : + xnx |
n . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
h! !i |
|
|
|
j!j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 15 |
10 декабря 2011 г. |
28 / 34 |
Преобразование сопряжённого базиса
Если два базиса, связаны матрицей перехода C
e1 e2 : : : en = e1 e2 : : : en C,
то сопряжённые базисы связаны матрицей C>
e1 e2 : : : en = e1 e2 : : : en C>.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 15 |
10 декабря 2011 г. |
29 / 34 |
Преобразование ковариантных координат
|
1 |
2 |
|
n |
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
e2 |
: : : en |
= e1 |
e2 |
: : : en |
C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e e : : : e |
= e e : : : e |
|
C>, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
! |
X x |
ej = X x |
|
ej = X xje = X xje |
j |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x = |
j |
|
j |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
3 |
|
x1 |
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
2x2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
. |
|
7 |
|
6 . |
|
7 |
|
|
|
|||
Напомним, связь для контравариантных координат: |
|
|
|
n |
|
= C |
en |
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
|
.. |
|
7 |
e.. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
|
|
|
6x |
|
7 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
6 |
|
7 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
3 |
|
|
|
ex1 |
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
2x2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 . |
7 |
|
|
|
6 . |
|
7 |
|
|
|||||
Для ковариантных координат выполняется: |
|
|
.. |
|
|
= C> |
e |
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
|
7 |
|
|
|
6x |
|
|
7 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
n7 |
|
|
|
6 |
n7 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
||
e
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 15 |
10 декабря 2011 г. |
30 / 34 |