Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-15

!

1

+ x2e

2

+ : : : + xne

n

x = x1e

числа xj

(координаты в исходном базисе)

будем называть

контравариантными координатами.

!

1

e1

2

e2 + : : : + x

n

en

x = x

+ x

Так как,

e1

e2

: : : en

= e1 e2 : : : en G то,

x1

3

x1

3

2x2

2x2

связь между ковариантными и

6x

7

= G

6xn7

контравариантными координатами.

6 ...

7

6

...

7

6 n7

6

7

4

5

4

5

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

11 / 34

1

2

n

!

j

hjj

; ek

i

jjk

Вычисление координат вектора

x

e

=

!

1

+ x e

2

+ : : : + x e

n

e

j x = h!

i ,

x = x e

j xj

x ; e

ji .

!

1

e1

2

e2

n

en

e

j

= h!

x = x

+ x

+ : : : + x

x ; e

Использование ковариантных координат

при вычислении скалярного произведения.

Пусть

y = y1 e

1

+ y2e

2

+ : : : + yne

n ,

yj

=

y ; ej

i.

!

h!

Тогда

x ; y

=

x ; y1e

1

+ y2e

2

+ : : : + yne

ni

=

h! !i

h!

= x1y1 + x2y2 + : : : + xnyn.

Итак,

x ; y

= x

y1 + x

y2 + : : : + x

yn

.

h! !i

1

2

n

Аналогично,

x ; y

= x1y

1

+ x2y

2

+ : : : + xny

n .

h! !i

В частности,

x ; x

=

x

2

= x1x

1

+ x2x

2

+ : : : + xnx

n .

h! !i

j!j

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

12 / 34

g11

g12

g1n

3

e1; e1

e1; e2

e1; en

G =

2g21

g22

g2n

=

2he2; e1i

he2; e2i

he2; eni3

6

7

6h

i

h

i

h

i7

6gn1 gn2

gnn7

6

en; e1

i h

en; e2

i h

en; en

7

4

5

4h

i5

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

13 / 34

G = 2e2 3 e1 e2

en ; G =

2e2 3

e1 e2

en

e1

e1

6e...

7

e

6e...

7

6 n7

6 n7

4

5

4

5

связаны так: G = C>GC (см. лекцию 7) .

Введём

сопряжённые базисы

e

e e

: : : e = e1 e2

n

G

e1 e2

: : : en

=

e1 2

: : : en G ,

1 2

n

1

2

e :n: : e

1 .

e

2

: : : e

n

C>.

Покажем, что

e

e

: : :

e =

ee

1

1

>

(здесь использовано, что

C>

= C

= C> .

В равенстве

e1 e2

: : :

en = e1

e2

: : : en C,

en

используем равенства

8

e1

e2

: : : en

=

e1

e2

: : :

G

,

1

2

n

<

e1

e2 : : : en

= e e

e

e

:n

: : :

G

получим

1

2

1

e

2

: : : e

n

GC

,

e

e

: : : e

G = e

так как

G = C>GC , то

e

e1 e2

: :e: en

C>GC = e1

e2 : : : en

GC,

: : :

n

1

= e1

: : : en

1 2

e2

умножая на

GC

, получаем

e1 e2

en

C>

1

2

: : : e

n

,

e e : : : e

= e

e

C >.

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

15 / 34

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

16 / 34

2x2

3

2x2

3

x1

7

x1

7

6 .

6 .

При доказательстве формулы

..

= C >

e

мы используем

6x

7

6x

7

6

n7

6

n7

4

5

4

5

x1

3

x1

3

x1

3

x1

3

e

x1

3

x1

3

2x2

2x2

2x2

2x2

2x2

2x2

..

7

= G ..

;

..

7

= C

e..

7

;

G

e..

7

=

e..

;

6 .

6 .

7

6 .

6 .

6 .

6 .

7

6xn7

6x

n

7

6x

n

7

en

7

en

7

e

6x

e 6x

6xn7

6

7

6

7

6

7

6

7

6

7

6

7

4

5

4

5

4

5

4

5

4

5

4

5

e

e

e

Итак,

x1

3

x1

3

x1

3

x1

3

x1

3

2x2

2x2

= GC

2x2

= C > C>GC

2x2

= C >

2x2

..

= G ..

e..

e..

e.. .

6 .

7

6 .

7

6 .

7

6 .

7

6 .

7

6x

7

6x

n

7

en

7

en

7

e

7

6x

6x

6x

6 n7

6 7

6 7

6 7

6

n7

4

5

4 5

4 5

| {z } 4 5

4 5

e

e

e

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

18 / 34

h1 h2 = h3 ,

h2 h3 = h1 ,

h3 h1 = h2 .

Пусть

e1; e2; e3

произвольный базис,

gjk = hej; eki

метрические коэффициенты,

G =

gjk

матрица Грама,

e1

e2

e3

=

e1

e2

e3

G

e

1

; e

2

3

k

; e

сопряжённый базис, hej; e

i = jk .

Т.к.,

e1 =

e2 e3

; e2 =

e3 e1

;

e3 =

e1 e2

тo,

(e1

; e2; e3)

(e1; e2

; e3)

(e1; e2; e3)

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

19 / 34

Утверждение

e1 e2

= (e1; e2; e3)e3,

e2 e3

= (e1; e2; e3)e1,

e3 e1

= (e1; e2; e3)e2.

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

20 / 34