Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-4
.pdf
Аффинные подпространства
Определение
Подмножество L аффинного пространства A ; L A, само являющееся аффинным пространством (размерности k) называется аффинным подпространством
или k – мерной плоскостью.
Наиболее важные случаи:
k = 1 прямая ;
k = 2 двумерная плоскость ;
k = n 1 гиперплоскость (dim A = n).
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 4 |
24 сентября 2011 г. |
11 / 28 |
Конструкция аффинных подпространств
Зададим точку M0 2 A и |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
k |
линейно независимых векторов a1; a2; : : : ; ak 2 V. |
|
|
|
||||
Рассмотрим Lk |
множество точек M 2 A, |
|
|
|
||||
радиус-векторы которых имеют вид |
|
|
|
|
||||
r = r0 + u1a1 + u2a2 + + ukak ; |
uj 2 R |
(1) |
|
|
||||
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
r |
|
Lk является аффинным пространством |
||||
|
a k |
M |
размерности k, |
|
|
|
||
Lk |
|
|
|
т.е., аффинным подпространством |
||||
M0 |
|
a1 |
или k – мерной плоскостью. |
|||||
Линейно независимые векторы |
a1; a2; : : : ; ak 2 V |
|
|
|
||||
|
|
|
||||||
называются |
направляющими векторами |
k – мерной плоскости. |
|
|||||
M0a1a2 : : : ak система координат k – мерной плоскости Lk . 
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 4 |
24 сентября 2011 г. |
12 / 28 |
Уравнение (1) называется векторным параметрическим
уравнением k – мерной плоскости.
Ясно, что любое аффинное подпространство можно получить таким образом.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 4 |
24 сентября 2011 г. |
13 / 28 |
Прямая линия одномерное аффинное подпространство
Пусть A произвольное аффинное пространство
с ассоциированным линейным пространством V ; dim V = n .
|
|
a |
M Пусть в аффинном пространстве |
A |
|||||||
l |
M0 |
r |
|||||||||
|
|
выбрана начальная точка |
O 2 A. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
Введём радиус-векторы точек M0 |
и M: |
||||||
|
|
|
|
r |
0 = |
!0 |
|
!. |
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
OM |
; r = OM |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямая l |
в аффинном пространстве A |
|
|
|
|||||||
(т.е., одномерное аффинное подпространство) |
a 6= 0 |
|
|||||||||
задаётся |
точкой |
M0 2 A и |
вектором |
a 2 V |
|
||||||
и есть множество точек |
M |
|
|
|
которых имеют вид |
||||||
|
|
2 A радиус-векторы |
|
|
|||||||
|
r = r0 + ta ; |
t 2 R |
|
|
|
|
|
(2) |
|||
Вектор a называется направляющим вектором прямой l . 
Уравнение (2) называется векторным параметрическим уравнением прямой.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 4 |
24 сентября 2011 г. |
14 / 28 |
Пусть Oe1e2 : : : en аффинная система координат в A.
Пусть a1; a2; : : : ; an координаты вектора a 2 V
в базисе e1; e2; : : : ; en , т.е., a = a1e1 + a2e2 + : : : + anen ;
x1; x2; : : : ; xn координаты точки M, |
n ; |
|||||||||||||
т.е., |
r = |
! |
|
1 |
+ x2e |
2 |
+ : : : + xne |
|||||||
|
|
OM = x1e |
|
|
|
|
||||||||
x01; x02; : : : ; x0n координаты точки M0, |
|
n ; |
||||||||||||
т.е., |
r0 = !0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
2 |
|
0 |
|||||
|
|
OM = x1e |
|
+ x2e |
|
+ : : : + xne |
|
|||||||
|
|
|
|
Тогда r = r0 + ta () |
||||||||||
l |
M0 |
a |
M |
|
|
|
|
x1 = x1 + ta1 |
|
|||||
|
|
|
|
8 x2 = x2 |
+ ta2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
0 |
|
|
|
r0 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
(3) |
||
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> xn |
= x0n + tan |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
>
:
(3) координатное параметрическое уравнение прямой. 
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 4 |
24 сентября 2011 г. |
15 / 28 |
|
|
x1 = x1 + ta1 |
|
t |
|
|
8 x2 = x02 |
+ ta2 |
|
||
|
> |
0 |
|
|
|
Решая уравнения (3) |
< |
|
|
относительно |
|
> |
|
|
|
||
>
>
:xn = xn0 + tan
иприравнивая полученные выражения, мы получим уравнения
|
x1 x01 |
= |
x2 x02 |
= = |
|
xn x0n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(4) |
|
|
|
|
||||
|
a1 |
a2 |
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|||||||
называемые |
каноническими уравнениями прямой . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
j |
|
|
j |
|
|
xj x0j |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Принято соглашение |
x |
|
= x0 + ta |
|
() |
|
|
= t, |
|
|||||||||
|
|
aj |
|
|||||||||||||||
поэтому, aj = 0 () xj x0j |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Напомним, что направляющий вектор |
a 6= 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Поэтому, одновременно |
a1 = 0 ; a2 = 0 ; : : : ; an = 0 |
не бывает. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 4 |
24 сентября 2011 г. |
16 / 28 |
Утв. Пусть прямая |
|
l проходит через точку |
M0 (l 3 M0) |
||||||||||
и a направляющий вектор прямой |
|
l . |
|
a |
|||||||||
Пусть N0 2 l; V 3 b = a ( 6= 0) . |
|
|
|||||||||||
Тогда точка N0 |
и вектор |
b задают |
l |
|
N0 |
||||||||
ту же прямую l . |
|
|
|
|
|
|
! |
|
M0 |
||||
J По условию |
N |
0 |
2 |
l |
() |
0 |
a |
. |
|||||
|
|
|
0 |
N |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
= t |
|
||
Для точек M0; N0; M справедливо равенство треугольника
! ! !
M0N0 + N0M = M0M.
M
b
Обозначим через l прямую с направляющим вектором b и проходящую |
|||||||||||||||||||
через точку N0 . eПо определению M 2 l () |
0 ! |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
N M = b |
|
|
|
|
|
|||
Покажем, что l = l . |
|
|
|
l . Пусть M |
l |
|
|
! |
|
|
|
|
|
||||||
|
что l |
|
2 |
) |
|
|
) |
|
|||||||||||
Сначала покажем, e |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
) |
0 ! 0 ! |
|
0e 0 |
|
|
0 |
|
= |
|
M |
M = ta = |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||||||||||
= |
N M = M M |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M N = ta t a = t t0 b = b = M l |
|||||||||||||||
Теперь покажем, что |
l |
|
. Пусть |
M |
2 |
|
) |
|
0 ! |
|
) |
e |
|||||||
=) |
0 ! 0 ! e |
|
0 !0 |
|
|
0e |
|
|
|
0 |
|
|
|
) |
|
||||
|
M M = N M + M N |
= b + t a = ( + t |
)a = ta = |
|
|
||||||||||||||
=) M 2 l . I
Таким образом, прямая может задаваться любой своей точкой 
и любым (ненулевым) вектором, коллинеарным направляющему.
Если M0; M1 2 l, то прямую l можно задавать
!
точкой M0 и вектором a = M0M1 .
То есть, прямая l однозначно определяется двумя точками.
a M M1 l M0 
Мы доказали, что |
O |
через две точки M0; M1 2 A проходит единственная прямая l. 
Заметим, что у нас это теорема, а не аксиома.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 4 |
24 сентября 2011 г. |
18 / 28 |
Уравнение прямой по двум точкам
Итак, если на прямой l выбраны |
|
|
M0 |
a |
M |
M1 |
|||||||||||||
две точки |
M0 |
и M1 , то направ- |
l |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
r |
|
|
|||||||||||||||
ляющий вектор можно взять в виде |
|
|
r |
|
|
||||||||||||||
a = ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
1 |
|
|
||
= r |
1 |
r |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M |
M |
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тогда уравнение (2) примет вид r = r0 + t(r1 r0) ; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
x1 = x1 + t(x1 |
x1) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 = x2 |
+ t(x2 |
x2) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
||
уравнение (3) |
примет вид |
< |
|
|
; |
|
|||||||||||||
> |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> xn = x0n |
+ t(x1n x0n) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x01 |
|
:x2 x02 |
|
|
xn x0n |
||||||||
уравнение (4) |
|
|
x11 x01 |
|
= |
x12 x02 |
|
= |
= |
x1n x0n |
. |
||||||||
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 4 |
24 сентября 2011 г. |
19 / 28 |
Резюме
Определение
Аффинное пространство это множество A элементов произвольной природы, называемых точками, для которого задано
а) |
некоторое векторное пространство V ; |
A; B 2 A |
|
б) |
отображение, сопоставляющее любым двум точкам |
||
|
некоторый вектор из V , обозначаемый символом |
! |
|
|
|
|
AB |
|
и называемый вектором с началом в |
A и концом в B. |
|
При этом требуется выполнение двух аксиом: |
|
||
9. 8A 2 A и 8a 2 V 9!B 2 A : ! |
|
||
|
AB = a |
|
|
10. для любых трёх точек A; B; C 2 A |
! ! |
!. |
|
|
имеет место равенство треугольника |
||
|
|
AB + BC = AC |
|
Векторное пространство V называется |
ассоциированным |
||
с аффинным пространством A. По определению dim A = dim V.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 4 |
24 сентября 2011 г. |
20 / 28 |