- •Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет).
- •§2. Метод статистической физики(элементы теории вероятностей)
- •§3. Микро- и макро- параметры системы.
- •§4. Свойство эргодичности системы.
- •§5. Два способа усреднения в статистической физике
- •§6. Понятие ансамбля систем
- •§7. Эргодическая гипотеза
- •§8. Равновесное состояние системы
- •§9. Время релаксации
- •§10. Квазизамкнутость и статистическая независимость подсистем
- •§11. Принцип равновероятности микросостояний
- •§12. Статистический вес макросостояния
- •§13. Статистическая энтропия
- •§14. Теорема Лиувилля
- •§15. Микроканоническое распределение Гиббса
- •§16. Каноническое распределение Гиббса
- •§17. Принцип возрастания энтропии
- •§18. Микроканоническое распределение Гиббса (продолжение)
- •§19. Каноническое распределение Гиббса
- •§25. Квазиклассическое приближение в статистической физике
- •§26. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса
- •§27. Использование распределения Максвелла для расчёта средних:,,,
- •§28. Статистическое описание системы невзаимодействующих частиц.
- •§29. Большое каноническое распределение
- •§30. Термодинамический потенциал Гиббса
- •§32. Распределение Ферми-Дирака
- •§33. Распределение Бозе-Эйнштейна
- •§34. Ферми и Бозе газы элементарных частиц
- •§35. Плотность одночастичных состояний в - пространстве
- •§36. Расчёт импульса Ферми для электронного газа при
- •§37. Расчёт энергии электронного газа при
- •§38. Уравнение состояния идеального электронного газа при . Критерий идеальности электронного газа
- •§39. Числовые оценки параметров ,,,,и
- •Решение задач по курсу “Статистическая физика”
- •Гамма-функция Эйлера
- •Решение дополнительных задач по курсу “Статистическая физика”
- •Экзаменационные вопросы по курсу “Статистическая физика”
- •Экзаменационные задачи по курсу “Статистическая физика”
- •Дополнительные задачи по курсу “Статистическая физика”
§32. Распределение Ферми-Дирака
Чтобы получить распределение Ферми-Дирака надо посчитать термодинамический потенциал :
- одночастичная большая статистическая сумма.
И с помощью посчитаем число состояний с учетом свойств Ферми-частиц.
Напомним, что:
здесь отсутствует взаимодействие между частицами, но имеет место обменное взаимодействие, т.е. за счёт спина (влияние сорта частиц на результат)
Для Ферми-частиц либо 1.
Рассчитаем для Ферми-газа:
где .
Мы получили распределение Ферми-Дирака. Это среднее число Ферми частиц в -том состоянии.
Придадим другой смысл. По определению:
Таким образом, это вероятность обнаружить одну Ферми частицу в -том состоянии:
§33. Распределение Бозе-Эйнштейна
Используем формулы:
, но здесь
Записав через получим:
Условие сходимости ряда:
равенство нулю реализуется для систем с не сохраняющимся числом частиц, например, для фотонного газа или аннигилирующих частиц.
Получим:
С помощью найдём среднее число частиц в-том состоянии:
И мы получили распределение Бозе-Эйнштейна.
Теперь можно объединить все три распределения в одну формулу и записать:
Мы получили выражение для числа частиц в зависимости от сорта частиц, т.е. от спина частиц.
Очевидно, что если выполняется критерий больцмановского распределения:
то все распределения переходят в больцмановское распределение:
Ограничения на химический потенциал:
- для Бозе-Эйнштейна
и- для Больцмана
- произвольный для Ферми-Дирака
§34. Ферми и Бозе газы элементарных частиц
Элементарная частица – значит что квантовые частицы рассматриваются как точки, не учитывая их структуры. Исследуем только поступательное движение этих частиц. В этом и есть смысл слов «элементарная частица».
В этом случае можем воспользоваться квазиклассическим приближением.
Здесь переходим от - номера квантового состояния в фазовое пространство.
это в квазиклассике, когда .
Состояние описывается фазовой точкой в фазовом пространстве. В фазовом пространстве имеем одну точку, т.к. состояние одночастичное.
В фазовом пространстве число частиц:
Пишем , т.к. рассматриваем поступательное движение, т.е. следует зависимость только от, а отнет зависимости, наша частица – как точка.
- кратность вырождения по спину
- число одночастичных состояний в элементарном объёме фазового пространства.
Поскольку энергия зависит только от , то можем проинтегрировать пои поставить объём:
Отсюда можно посчитать полное число частиц в системе и полную энергию системы.
(28)
с помощью этого соотношения преобразуем элементарный объём в импульсном пространстве, используя сферические координаты
Так как функция, стоящая перед не зависит от углов, а зависит только от модуля:
то можем проинтегрировать по углам. Учтем ещё, что:
Используем (28):
Значит:
Тогда число частиц, приходящихся на единичный интервал энергии:
здесь «+» -для Ферми-Дирака, а «-» - для Бозе-Эйнштейна.
Посчитаем среднюю энергию системы и среднее число частиц.
При переходе в термодинамику для наблюдаемых величин пишем:
и
Среднюю энергию и среднее число частиц можно посчитать ещё и таким способом:
- сумма по одночастичным состояниям
При переходе к квазиклассическому приближению имеем:
Точно так же рассчитывается термодинамический потенциал:
, где
Поэтому при подстановке вимеем:
«+» -для Ферми-Дирака, а «-» - для Бозе-Эйнштейна.
В квазиклассическом приближении получим:
- возникло при переходе к квазиклассике в переменные по энергии.
Здесь .