Решение дополнительных задач по курсу “Статистическая физика”

1.Вычислить значение выражения

Решение.

Прежде всего, заметим, что приведенное в условии задачи выражение (1) можно записать в виде определителя

(2)

Теперь, пользуясь указанным свойством якобианов

,

имеем

Но из соотношения следует равенство

Отсюда искомое выражение (1) равно 1.

2.Доказать тождество

Решение.

Будем рассматривать стоящую слева в (1) функцию V(p,S) как сложную функцию переменных р и S, от которых зависят переменные V и Т, фигурирующие в правой части тождества:

(2)

Теперь, пользуясь правилами дифференцирования сложных функций, получим

(3)

Раскрывая в (3) , получаем:

Далее, учитывая, что и, находим:

(4)

Подставляя (4) в (3), получаем (1).

3.Термодинамическая система расширяется таким образом, что ее энергия U остается постоянной. Как изменяется при этом температура системы? Будет ли такой процесс обратимым?

Решение.

Необходимо определить, от чего зависит значение производной . Для этого удобно перейти к естественным переменным функций- U - V и S, поскольку при этом возникают непосредственно измеримые на опыте термодинамические параметры:

(1)

Поэтому преобразуем следующим образом:

(2)

Далее,

(3)

. Учитывая соотношение (1), переходим к переменным Т, V, чтобы выделить в явном виде теплоемкость С_V:

(4)

Теперь (3) записывается так:

(5)

Искомая производная выражена через теплоемкость системы при постоянном объеме С_V,давление р, температуру Т и изохорический температурный коэффициент давления (dp/dT)_V. Знак изменения температуры определяется соотношением между слагаемыми в квадратных скобках в формуле (5). Чтобы выяснить, будет ли описанный процесс обратимым, необходимо рассмотреть производную (dS/dV)_U. ПриdU=0 имеем:

(6)

Итак, происходящий с системой процесс всегда необратим независимо от того, как конкретно он реализуется: система расширяется в пустоту, не совершая работы и не получая или не отдавая теплоты, или система совершает работу при расширении, но к ней подводится теплота для обеспечивания постоянства её энергии.

Экзаменационные вопросы по курсу “Статистическая физика”

Оглавление 2

Решение задач по курсу “Статистическая физика” 44

Экзаменационные вопросы по курсу “Статистическая физика” 56

Экзаменационные задачи по курсу “Статистическая физика” 57

Дополнительные задачи по курсу “Статистическая физика” 59

Экзаменационные задачи по курсу “Статистическая физика”

Задача 1.Математический маятник совершает гармонические колебания по закону

Найти вероятность того, что при случайном измерении отклонениямаятника это значение будет лежать в интервале.

Задача 2.Вероятность того, чтоилежат в интервалах:идается выражением:

Считая, что областями измерения переменных иявляетсяи, найти константу нормировки.

Задача 3.Определить вероятность того, что значение величиныбудет лежать в интервале.

Задача 4. Найти дисперсию энергии в случае канонического распределения Гиббса.

Задача 5.Найти дисперсию числа частиц в случае большого канонического распределения Гиббса.

Задача 6.Используя распределение Гиббса:получить различные формы распределения Максвелла:

4. вероятность того, что скорость любой частицы заданной системы лежит в интервалах ,,;

5. вероятность того, что абсолютная величина скорости лежит в интервале ;

6. вероятность того, что кинетическая энергия любой частицы лежит в интервале ;

Задача 7. Используя распределение Максвелла, найти:

а) ;

б);

в)(наиболее вероятное значение величины скорости);

Задача 8. Используя распределение Максвелла, найти дисперсию скоростии среднее квадратичное отклонение.

Задача 9. Найтии наиболее вероятное значение кинетической энергии частицы.

Задача 10: Используя распределение Максвелла, найти дисперсию кинетической энергии, где.

Задача 11. Найти вероятность того, что две частицы имеют абсолютную величину скорости относительного движенияв интервале. Найти.

Задача 12.Используя распределение Гиббса, найти для идеального газа, помещенного во внешнее потенциальное силовое поле, вероятность того, что координаты любой частицы будут лежать в интервалах,,.

Задача 13. Найти центр тяжести столба идеального газа в однородном поле тяжести, если ускорение поля тяжести, масса молекулы, температура.