- •Московский государственный институт электронной техники (Технический Университет).
- •§2. Метод статистической физики(элементы теории вероятностей)
- •§3. Микро- и макро- параметры системы.
- •§4. Свойство эргодичности системы.
- •§5. Два способа усреднения в статистической физике
- •§6. Понятие ансамбля систем
- •§7. Эргодическая гипотеза
- •§8. Равновесное состояние системы
- •§9. Время релаксации
- •§10. Квазизамкнутость и статистическая независимость подсистем
- •§11. Принцип равновероятности микросостояний
- •§12. Статистический вес макросостояния
- •§13. Статистическая энтропия
- •§14. Теорема Лиувилля
- •§15. Микроканоническое распределение Гиббса
- •§16. Каноническое распределение Гиббса
- •§17. Принцип возрастания энтропии
- •§18. Микроканоническое распределение Гиббса (продолжение)
- •§19. Каноническое распределение Гиббса
- •§25. Квазиклассическое приближение в статистической физике
- •§26. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса
- •§27. Использование распределения Максвелла для расчёта средних:,,,
- •§28. Статистическое описание системы невзаимодействующих частиц.
- •§29. Большое каноническое распределение
- •§30. Термодинамический потенциал Гиббса
- •§32. Распределение Ферми-Дирака
- •§33. Распределение Бозе-Эйнштейна
- •§34. Ферми и Бозе газы элементарных частиц
- •§35. Плотность одночастичных состояний в - пространстве
- •§36. Расчёт импульса Ферми для электронного газа при
- •§37. Расчёт энергии электронного газа при
- •§38. Уравнение состояния идеального электронного газа при . Критерий идеальности электронного газа
- •§39. Числовые оценки параметров ,,,,и
- •Решение задач по курсу “Статистическая физика”
- •Гамма-функция Эйлера
- •Решение дополнительных задач по курсу “Статистическая физика”
- •Экзаменационные вопросы по курсу “Статистическая физика”
- •Экзаменационные задачи по курсу “Статистическая физика”
- •Дополнительные задачи по курсу “Статистическая физика”
§29. Большое каноническое распределение
Запишем первое начало термодинамики, при учёте, что происходит обмен частицами:
где - число частиц, а- химический потенциал.
Пусть между системами 1 и 2 идёт обмен частицами (материальный контакт) и энергетический контакт (теплой обмен).
Для энтропии можем записать:
Ранее мы писали соотношение:
Теперь добавим туда и перепишем его:
Поступая аналогично случаю теплового контакта, мы получаем, что равновесие при тепловом и материальном контакте наступает при
и, т.е.
и
Аналогично получают большое каноническое распределение:
система находится в квантовом состоянии и имеетчастиц.
В данном случае система находится в тепловом и материальном контакте.
Еще большое каноническое распределение называют распределением Гиббса с переменным числом частиц.
Здесь статистическая сумма и.
- набор квантовых чисел, характеризующих состояние системы.
§30. Термодинамический потенциал Гиббса
В термодинамике есть следующее понятие:
-свободная энергия Гельмгольца
- свободная энергия Гиббса.
-термодинамический потенциал Гиббса, он играет важную роль в связи с большим каноническим распределением.
здесь - статистическая сумма канонического распределения, а- статистическая сумма большого канонического распределения.
Запишем первое начало термодинамики:
Используя большое каноническое распределение, рассчитаем энтропию:
Теперь переходим в термодинамику, т.е. опускаем знак для средних:
Отсюда имеем:
Запишем выражение:
Подставим сюда выражения для первого начала термодинамики, тогда получим:
(17)
Аналогично получим .
Подставим сюда выражение для :
(18)
Нетрудно показать, что
Из соотношений (17) и (18) видно, функциями каких переменных являются функции и:
Переход от одной функции к другой идёт с помощью преобразования Лежандра, т.е. переходя от одних переменных к другим.
Из полученных нами выражений вытекают определения:
Из (17) имеем
, здесь
Из (18) имеем:
, здесь
- это интенсивный параметр, т.е. при равновесии системы он выравнивается.
- это экстенсивный параметр, он аддитивен, поэтому в статистической физике соотношение дляпишется так:
§31+. Распределение Больцмана как следствие большого канонического распределения Гиббса
Будем рассматривать идеальный газ, где частицы взаимодействуют между собой очень слабо или совсем не взаимодействуют: частицы могут либо слабо взаимодействовать, либо газ настолько разрежён, что частицы находятся друг от друга далеко, потому и слабо взаимодействуют.
В распределении Больцмана рассматриваются разреженные газы, т.е. здесь условие:
это вероятность реализации - того одночастичного состояния счастицами.
Среднее число частиц:
Но для распределения Больцмана используют ограничение - в силу разреженности газов.
Тогда наибольшая из вероятностей :
- что в-том состоянии нет частиц, потом идёт- вероятность того что в-том состоянии одна частица, и т.д.
Поэтому пишем , а остальными слагаемыми можно пренебречь.
, т.к.
Тогда имеем:
Можем записать , тогда:
, где
Для вероятностей иможем записать. Найдёми.
Для мы уже писали:
, где
Найдём :
, где
Т.к. условие нормировки для выполняется, то его можно записать с точностью до двух слагаемых:
Тогда
Следовательно, мы можем записать:
Перейдём к распределению Больцмана.
Дальше будем писать строгие равенства.
,
Рассмотрим квазиклассическое приближение. Одночастичное состояние будет описываться функцией , где состояние характеризуется фазовой точкой в фазовом пространстве, а не индексомсостояния.
Соответственно возникает число состояний приходящихся на элементарный объём:
здесь - объём элементарной ячейки, приходящейся на одно состояние в квазиклассике.- это число степеней свободы приходящихся на одну частицу.
Для системы частиц писали:
А у нас в данном случае:
Мы будем рассматривать случай, когда ( т.е. 3 степени свободы) - это одноатомная частица, тогда:
Итак, переходим от среднего числа в состоянии , к среднему числу частиц приходящихся на этотфазовый объём. Тогда число частиц в элементарном объёме:
в этом выражении от перешли к, т.е. энергия здесь утратила индекс состояния.
Поделим на число частиц , тогда мы найдём вероятность того, что частица находится в элементарном объёме фазового пространства:
вероятность того что состояние частицы лежит в элементарном объёме шестимерного фазового пространства , т.е.
импульс и координаты частицы попадают в эти интервалы.
Если нормировать эту вероятность по координатам или по импульсам, то переходим к распределению по координатам либо по импульсам.
Можем записать
Видим, что энергия разбивается на два слагаемых. В силу этого разбиения можем записать:
- распределение Максвелла
- распределение Больцмана
Можем с помощью этих функций находить средние и т.п.
Можно их записать на языке числа частиц: