§26. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса

Далее будем излагать без константы , т.к. она нам в ближайших расчётах не понадобится.

здесь , а- число степеней свободы.

В квазиклассике:

Рассмотрим систему из материальных точек и в качествестепеней свободы выберемпеременных:

т.е. это обычное трехмерное пространство.

Тогда можем в явном виде записать кинетическую энергию и аргументы потенциальной энергии:

и

здесь время отсутствует, потому что решается стационарная задача.

И функция плотности вероятности и вероятность зависят от всех выше указанных переменных:

(15)

Каждый вектор - т.е. это элементарный объём соответствующего трёхмерного пространства.

Вероятность говорит о событии:

где .

Если имеем вероятность некоторого совместного события:

то вероятность одного из них:

тогда:

(16)

Используем соотношение (16), чтобы, зная вероятность (15), найти плотность распределения импульсов (в данном случае импульса первой точки):

Аналогично (16) получаем:

здесьинтегралов

Для функции имеем:

При интегрировании функция даст константу, авыносится за интеграл тогда:

Из условия нормировки найдём константу :

Далее индекс «1» ставить не будем, т.к. если все точки одинаковы, то нет смысла выделять точку (для всех точек распределение будет одинаковое).

и

(Далее Т – температура)

Тогда:

, а

все переменные меняются в пределах от до, тогда получаем:

где

Тогда получаем:

Само распределение имеет вид:

Мы получили распределение вероятностей импульсов или распределение Максвелла. Хотя его ещё называют распределением Больцмана.

Эта вероятность говорит о событии:

здесь три неравенства, т.к. имеется три проекции импульса.

§27. Использование распределения Максвелла для расчёта средних:,,,

- кинетическая энергия

Посмотрим .

Если рассмотрим , то получим:

Запишем выражение для :

Подставим в наше выражение, тогда получим:

Тогда мы можем записать:

,

Тогда:

Аналогичные результаты имеем для и, тогда:

Легко найти :

здесь - температура в энергетических единицах.

При расчёте в произвольной степени, имеет место другая схема расчёта, а именно:

, где

При нечётном надо учитывать симметричность, т.е.- получается чётная функция. В этом сложность расчёта. Поэтому для расчёта переходят в сферические координаты:

Тогда:

Сделаем замену переменных:

,,

Тогда получим:

Используем гамма функцию :

Из свойств гамма функции замечаем такие соотношения:

§28. Статистическое описание системы невзаимодействующих частиц.

Запишем большое каноническое распределение:

и рассмотрим систему невзаимодействующих частиц, т.е. предельный вариант системы слабовзаимодействующих частиц, тогда:

- энергия одночастичного состояния, здесь, а.- число частиц.

Так как частицы не взаимодействуют, то гамильтониан пишется:

(19)

и решается задача для одной частицы:

(20)

Отсюда возникает - энергия одночастичного состояния.

- квантовые числа одночастичных состояний системы

Индекс ухарактеризуется вектором:

Т.к. частицы невзаимодействующие, то:

- это следует из (19) и (20)

Тогда само большое каноническое распределение перепишется в следующем виде:

- получили произведение

здесь , а

- это вероятность того, что частицанаходится в-том состоянии.

- это для ансамбля одинаковых частиц, а в общем случае:

Перейдём к другому описанию, а именно к числам заполнения, т.е. как во вторичном квантовании.

Здесь изпереходит в- вектор чисел заполнения в одночастичном состоянии.

,- число частиц в первом состоянии и т.д.

В этом случае запишется несколько иначе:

где - состояние, а- число частиц в одночастичном состоянии.

Тогда полное число частиц .

- суммирование идёт по одночастичным состояниям.

Эта формула говорит о том, что мы рассматриваем одинаковые частицы, т.к. пишем без индекса.

Большое каноническое распределение в этом случае принимает вид:

Вычислим статистическую сумму :

Вектор указывает все квантовые состояния системы, это вектор чисел заполнения, по нему идёт суммирование.

Сделаем обозначение , тогда:

здесь однако наложено ограничение, т.е. - число частиц в системе фиксировано, поэтому:

Это аналогично интегрированию по некоторой замкнутой области:

Двигаясь вправо по суммам, мы видим, что результат зависит от предыдущего, т.е. суммирование не является независимым, т.е. мы не можем расщепить сумму.

Однако в результате суммирования по имеем произвольное,растёт в бесконечность неограниченно, тогда суммирование поприводит к расщеплению сумм.

Тогда:

- сумма по числам заполнения

Теперь пишем:

Тогда:

,

- нормированная функция, а- ненормированная.

Значит получаем:

Ясно, что - нормирована:

Смысл - это вероятность того, что обнаруживаемчастиц в-том одночастичном состоянии, т.е. это вероятностьчисла заполнения. Таким образом, одночастичные состояния можно рассматривать обособленно друг от друга.

С помощью такого подхода получены распределения Больцмана, Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.

Запишем для нашего случая. По определению:

здесь - термодинамический потенциал одночастичного-го состояния.

Зная найдём среднее число частиц в-м одночастичном состоянии:

Ясно, что: