39. Математический аппарат z-преобразований

При переходе от SкZвиду исчезает многозначность и удается избавиться от периодических свойств. Переход осуществляется заменой(для дискретных сигналов только)

Свойства Z-преобразования:

1. Линейность

2. Сдвиг во времени на kT

3. Свойства частной производной

следует из равномерности сходимости ряда

4. Изменение масштаба в области z

5. Конечное значение x(t)->

Лишь в том случае когда исследуется на устойчивость

6. Начальное значение

40.1) Вычисление z-преобразований сигналов и соответствующих передаточных функций.

1. 

2. 

3. 

4. 

40.2)

5. 

6. 

41.) Описание дискретно-непрерывных систем с помощью передаточной функции W(z) и Ф(z).

42.1) Построение годографаW(z).

Рассмотрим z=exp(TS), рассмотрим как преобразуется плоскостьSв плоскостьz.

Плоскость S:

Плоскость Z:

Рассмотрим преобразование участка от 0 до /2:

0≤ w≤/2:z=exp(Tjw) Этот участок в областиzпредставляет собой единичную окружность, точнее верхнюю половину окружности.

Возьмём дополнительные точки: Wo/8,Wo/4, 3Wo/8

Wo/8:z=exp((2П/Wo)*Wj)=

42.2)

Особенности построения годографа дискретной системы:

-диапазон частот: 0≤ w≤/2

-в место zподставляемt(Tjw), гдеT=2П/

Преимущества:

- В отличии от W*(S)-W(z)- функция детерминированная

- На плоскости S-бесчисленное число особенностей (полюсов), на плоскостиzони не повторяются. Все полюса из дополнительных полос попадают в те же точки, что и точки из основной полосы. В общем, избавляемся от периодических повторений.

Критерий Найквиста работает в том же самом виде и на плоскости z.

43)

44.) Билинейное преобразование. Понятие псевдочастотных характеристик.

Билинейное преобразование п.ф. W(Z) получается при заменеZ= (1 + (T/2)S_)/(1 – (T/2)S_).

S_=j_, где_ - псевдочастота.

Для системы на плоскости S_, так же, как и на пл.S, можно использовать ЛАФЧХ, АФЧ годограф, корневой годограф.

S_ = (2/T)*(Z-1)/(Z+1)

S_ = (2/T)*th(ST/2)

S_ = j(2/T)*tg(T/2) = j_

_ = (2/T)*tg(T/2)

горизонтальная сетка при переходе из пл.Sв пл.S_ сохраняет ортогональность, линии переходят в окружности конечного или бесконечного радиуса.

45.1) Передаточные функции дискретно-непрерывных систем с экстраполятором нулевого порядка на плоскости w(s) (s с чертой).

1. - усилительное звено.

.

2. 

3. a – постоянная времени апериодического звена.

45.2)

При переходе из вкоэффициент усиления остается постоянным.

4. 

5. 

46.1) Вычисление переходного процесса в дискретные моменты времени с помощью вычетов.

Рассматриваем только дискретные моменты времени.

g(t)Ty(S)

Выведем формулу обратного z-преобразования. Для этого запишем обратное преобразование Лапласа для непрерывной системы:

Прямое:

Обратное: .

C-абцисса абсолютной сходимости интеграла, т.е. все особенностиy(S) находятся слева.

Мы рассматриваем систему в тактовые моменты времени, значит :

Известно, что для дискретной системы плоскость делится на основные и дополнительные полосы, поэтому распишем интеграл как сумму от допо полосам.

46.2)С учетом, что

Применим z-преобразование:

. Получим:

Решение: .