21.1) 21.2)

Из второго уравнения находим w(w=1/T) и подставляем в первое и находим А.

Воспользуемся граф-аналитическим методом, коэф. Усиления возьмём = 10:

Нарисуем для произвольного К:

Построив ЛАФЧХ линейной части, накладываем шаблон данной нелинейности, совмещая оси 0дБ. Стоит отметить, что декады шаблона и ЛАФЧХ могут быть разными, но значения дБ и фаз 21.3) должны быть согласованы. Совместив шаблон и ЛАФЧХ двигаем его горизонтально так, чтобы на частоте, где фаза пересекает -180 оказалось пересечение амплитудных характеристик.

Частота автоколебаний определяется по фазе, а амплитуда автоколебаний ищется из шаблона. По горизонтали у шаблона измеряется соотношение d/A, опустив перпендикуляр из точки пересечения получим значениеd/A. Допустим, у нас это значениеx, тогда :x=d/A=>A=d/x

Шаблон у нас нормированный, поэтому все построения верны, если c/d=1. ЕслиN=c/d>1 характеристика переместится вверх, еслиN<1 то вниз.

Рассмотрим области устойчивости, их принято рассматривать на графиках зависимости AaиWaотK

До какого то K1 автоколебаний не будет

22.1).Критерий устойчивости автоколебаний Попова.

Для нелинейных систем понятие абсолютной устойчивости: характер ее поведения не изменяется от величины отклонение от положения равновесия(или величины входного воздействия).

Сможем утверждать от устойчивости при малых и больших отклонениях.

Нелинейность отделены от линейной части.

Вход роли не играет. Нелинейность любая (м.б. несимм., но заключена в секторе от 0 до к)

Два варианта критерия

1. Линейная часть W(S) устойчива

Теорема В.Н. Попова:

Положение равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью w(s) и нелинейной характеристикой, заключенной в секторе [0,k], будет абсолютно устойчивым если существует такое действительное число α, при которой для всех ω≥0 выполняется неравенство:

Комментарий:

Для однозначных нелинейностей число α м.б. любым:

Теорема дает достаточное условие устойчивости т.е. даже если условие не выполняется есть шанс, что система м.б. 22.2)устойчивой. А если выполняется, то система всегда устойчива.

Существует геометрическая интерпретация теоремы(более удобная на практике) нужно ввести понятие модифицированной частотной характеристики:

Мнимая часть стала четной, как и действительная часть.

Годограф должен лежать ниже прямой

2. W(S) – неустойчива

Сектор [0,k] не может рассматриваться т.к. при малых k замкнутая система не может 22.3)стать устойчивой(корни в кг не переходят в левую часть при малых k)

Нужно найти k₀ при котором система может стать устойчивой

Переходим к сектору [k₀,k_m]

K₀- минимальное значение обеспечивающее устойчивость замкнутой системы

Преобразуем систему к виду

Свели систему к 1-му случаю

23.1).Для того что бы отыскать решение с помощью ЛАФЧХ, необходимо ввести шаблон для типовых нелинейностей, по примеру:

Шаблон описывает нелинейности с любыми параметрами , о нсделан для нормальной нелинейности.

;- нормативный множитель, нужно исключить из шаблона

По горизонтали откладывается в log маштабе

Пример 1

Исслед поведение системы в зависисмости от к.

Решение с помощью шаблона:

23.2).

Нормир множитель учесть в лин. части. Ось шаблона совмещаем с осью ЛАФЧХ.

– амплитуда автокол.

Рассмотрим вопрос устойчивости

Для гармон. линеариз. систамы можно применить критерий устойчивости Найквиста

;– для найденного решения играет роль т. -1, т.е. пересечение гадографов.

Критерий Найквиста для устойчивой линейной части для гарм. линеар системы:

В точке пересечения гадографов дает положит приращение(1) , если точка вышла 23.3). из-под охвата гадографа то в этой точке имеем устойчивое решение Гольдфарба.

(1)

Построение областей устойчивости нелинейной системы.

При малых к пересечений нет, то по крит Н. с-ма устойчива следовательно нелин. Система асимптот. устойчива.

При к=: А=d, по критерию Попова все автокол. будут устойчивы.

При любые по вел-не импульсное воздействие приведет к сходящемуся к 0 процессу.

, подаем импульс небольшой величины, след, в с-ме начнут раскачаваться автокол. до установившегося значения амплитуды автокол.