- •§6. Основные теоремы о линейно-деформируемых системах (лфс)
- •Теорема Клапейрона о работе внешних нагрузок
- •Теорема Бетти о взаимности работ и теорема Максвелла о взаимности перемещений
- •Теорема о потенциальной энергии внутренних сил упругости
- •Интеграл Мора для определения перемещений
- •Теорема Кастильяно о взаимности энергии и перемещений
- •Теорема Рэлея о взаимности реакций
- •Правило Верещагина для перемножения эпюр
- •Формулы трапеций и Симпсона
- •§7. Силовой расчет статически неопределимых стержневых систем (снс).
- •Достоинства:
- •Недостатки:
- •Метод сил
- •1 Единичное состояние о.С.
- •5 Единичное состояние о.С.
- •3 Единичное состояние о.С.
- •Метод перемещений
- •Комбинированный метод.
- •Смежный метод.
- •Метод конечных элементов.
- •Метод предельного равновесия.
- •§8. Расчет статически неопределимых балок, арок и ферм. Неразрезные балки.
- •Синтез:
- •Неразрезные арки
- •Статически неопределимые фермы.
- •§9. Расчет пространственных стержневых систем.
- •§10. Колебания стержневых систем.
- •Собственные колебания систем с n степенями свободы.
- •Внутренние колебания систем с n степенями свободы.
1 Единичное состояние о.С.
5 Единичное состояние о.С.
Горизонтальное перемещение т. В, вызванное действием сил , равно нулю.
По теореме Максвелла о взаимности перемещений: , т.е. взаимное перемещение по вертикали сечений С1 и С2, вызванное действием силы , равно нулю.
Чтобы определить перемещение ∆3F, необходимо построить и перемножить эпюры от сил и.
1 1
1 1 P
D
3 Единичное состояние о.С.
Грузовое состояние О.С.
1 1
Решая систему канонических уравнений, находят лишние неизвестные xi. Окончательную эпюру изгибающих моментов строят, используя принцип суперпозиции.
Для проверки правильности эпюры М используют статическую и кинематическую проверки. Статическая заключается в проверке равновесия всех узлов рамы, выделенных из конструкции и находящихся под действием изгибающих моментов в сходящихся стержнях и внешних моментов, приложенных в узлах. Например, для эпюры MF получаем для узла D:
0
D - узелD в равновесии.
Кинематическая проверка заключается в отсутствии суммарных перемещений в заданной системе по направлению отбрасываемых связей:
т.е. необходимо перемножить каждую из единичных эпюр на окончательную эпюруМ. Если ноль не получается, то допущена как минимум одна ошибка в расчетах (при первом расчете таких ошибок несколько). Для того, чтобы избежать неопределенности в нахождении ошибки, разработана система пошаговых промежуточных проверок.
Эпюра поперечных сил Q для простых рам строится методом сечений. Для сходных рам эпюру Q строят путем вырезания отдельных стержней рамы с последующим рассмотрением их равновесия под действием внешних нагрузок и внутренних усилий по концам стержней. Так как нагрузки известны, изгибающие моменты можно принять с окончательной эпюры М, а продольные силы в составлении уравнений равновесия не участвуют, то можно вычислить поперечные силы по концам стержней.
Рассмотрим стержень ij:
y P q M
Mij i j Mij
Nij
Nij
Qij Qij
a
b
l
Эпюру продольных сил N для простой рамы можно построить методом сечений. Для схожей рамы эпюру N строят путем рассмотрения равновесия вырезанных узлов, находящихся под действием активных нагрузок поперечных сил, взятых с эпюры Q, и продольных сил. Необходимо последовательно рассматривать узлы, в которых неизвестными являются не более двух продольных сил. Например, для узла k получаем:
P1 Nkj j
P2 K Qkj
Qki
Nki
i
Для статической проверки всей рамы в целом необходимо приложить все опорные реакции и составить три уравнения равновесия, которые должны тождественно выполняться ():
Метод перемещений
Рассмотрим альтернативный по отношению к методу сил метод раскрытия статической неопределимости стержневых систем, названный методом перемещений. В методе сил за неизвестные принимают реакции и (или) внутренние усилия в лишних связях, которые находят из равенства нулю перемещений по направлению отброшенных связей. В методе перемещений за неизвестные принимают перемещения подвижных узлов конструкции, которые находят из равенства нулю реакций в воображаемых опорных связях, препятствующих перемещениям узлов: в методе сил часть связей отбрасывается, а в методе перемещений, наоборот, вводится некоторое число новых связей. На первый взгляд, кажется, что мы усложняем задачу, вводя дополнительные связи, но благодаря оригинальному подходу это не так. Дело в том, что вводя в реальную конструкцию ряд виртуальных связей, мы получаем набор базовых случаев нагружения балок, используемых при расчете большого многообразия стержневых систем. Такой подход легко поддается программированию на ЭМВ.
Рассмотрим простую П-образную раму и представим возможную схему ее деформации при воздействии внешних нагрузок с учетом следующих упрощающих предпосылок:
Стержни при изгибе искривляются, но своей длины не изменяют;
Жесткие узлы поворачиваются так, что углы между примыкающими стержнями не изменяются.
Жесткие узлы D, E, F, G повернутся на некоторые углы θ1-θ4 и переместятся по горизонтали на величину ∆1 и ∆2. Т.к. стержни не растяжимы, то DD1=EE1=∆1 и FF1=GG1=∆2. Таким образом общее число неизвестных равно степени кинематической неопределимости nk=ny+nл=4+2=6.
Число угловых неизвестных ny равно числу жестких узлов рамы. Число линейных неизвестных nл равно числу степеней свободы шарнирной модели. nл=Wш.м.=3D-2Uш-С=3*6-2*8-0=2.
Выбираем основную систему метода перемещений, вводя в жестких узлах виртуальные (воображаемые) заделки, препятствующие повороту, и линейные связи в узлах E, G, препятствующие горизонтальному перемещению.
Если теперь повернуть виртуальные заделки на углы θ1-θ4 и сместить линейные связи на величину ∆1 и ∆2, и кроме того приложить внешние нагрузки , то мы получимэквивалентную систему, полностью адекватную заданной системе как в кинематическом смысле (равны соответствующие перемещения), так и в статическом (равны соответствующие реакции в реальных и виртуальных связях). Обозначим неизвестные буквами Zi.
Z3 Z4
F F1 G
G1 2 Z6
P2
P2
Эквивалентная система
D D1 P1 E E1 Z1 P1 Z5 Z2
Заданная система
3
A B 1
3 4 6 1 1
D=6; Uш=8
1 2
2 2
Шарнирная модель
5
Основная система
1
Вычислим реакции в виртуальных связях, вызванные угловыми и линейными перемещениями Zi, а также внешними заданными нагрузками , используя принцип суперпозиции. Для связи i получаем в эквивалентной системе:
где – реакция в связиi, вызванная действием единичного перемещения j связи ,- реакция всвязиi от действия внешней нагрузки .
Так как в заданной системе виртуальные связи отсутствуют, то для нее .
На основе адекватности эквивалентной и заданной систем получаем , т.е..
Раскрывая по всем i, получаем систему канонических уравнений метода перемещений:
Реакции в основной системе от различных воздействий могут быть найдены методом сил. Встречаются два основных случая опирания балок:
Глухие заделки с двух сторон;
Одна глухая заделка и одно шарнирное опирание.
А В
А В
В качестве примера рассмотрим определенные реакций, возникающих при повороте заделки А на угол .
Балка 2 раза статически неопределима n=R-U=4-2=2.
MA MB
з.с.
RA RB
о.с.
х1
э.с. х2
1 Е.С., 1 Е. Эп.
2 Е.С., 2 Е. Эп
1
1 l*1
1 г.с.
Выбираем основную систему метода сил, отбрасываем связи в опоре В, и показываем эквивалентную систему. Записываем систему канонических уравнений:
Рассматриваем 1 и 2 единичные и грузовое состояние основной системы. В роли внешней нашрузки выступает угол поворота левой опоры. Вычислим податливостии перемещения∆iF.
Подставляем в систему:
или
Из уравнений равновесия находим:
По полученным данным строится эпюра изгибающий моментов в заданной балке от единичного угла поворота.
1 Эп.
Эпюра построена на растянутых волокнах.
Рассмотрим действие на балку силы Р.
Р
Заданная система
Основная система
P/2 P/2
x1 x1
Эквивалентная система
1
Pl/4
P/2
Pl/8
Мы получили два элемента библиотеки базовых случаев нагружения. Аналогично найдены решения для других случаев, которые как «кирпичики» используются при расчете рам.
Рассмотрим I единичное и грузовое состояния основной системы.
P2
P1
MF
r11
D
Для показанной выше рамы, например, можно записать:
где h и l – длины стоек и ригелей, сходящихся в узле D; Yc и Yp – моменты инерции стоек и ригелей. Аналогично находим:
После нахождения «единичных» rij и грузовых RiF реакций решается система уравнений относительно перемещений узлов Zi. Затем строится окончательная эпюра изгибающих моментов.
где – эпюра изгибающих моментов в основной системе метода перемещений от единичного перемещения- то же от внешней нагрузки.
Аналогично методу сил, в методе перемещений имеется целый ряд промежуточных и окончательных проверок правильности решения задачи.