§8. Расчет статически неопределимых балок, арок и ферм. Неразрезные балки.

Неразрезной называется балка с двумя и более пролетами, не имеющая промежуточных шарниров.

По сравнению с разрезной балкой она более экономична по расходу материала, но менее технологична в изготовлении и монтаже в силу своей громоздкости. Неразрезные балки статически и кинематически неопределимы. Для раскрытия статической неопределимости используют метод начальных параметров и метод сил. Для раскрытия кинематической неопределимости используют метод перемещений.

а) Метод начальных параметров.

Z_i i

M_{A M} P q

_{A B C D F}

R_A R_B R_C R_D R_E

l₄

l₃

l₂

l₁

Степень статической неопределимости n=R-2, где R – число вертикальных реакций и реактивных моментов. Для показанного примера n=6-2=4.

Используем анализ, состоящий из трех сторон задачи, и синтез.

1. Статическая сторона задачи. Балка находится в равновесии, следовательно

2. Геометрическая сторона задачи. Балка опирается на жесткие опоры, следовательно

3. Физическая сторона задачи. Балка прогибается, следовательно, можно использовать выражение прогиба для произвольного сечения Z_i

.

Синтез:

Подставляя выражение прогиба в условия (3)-(6), получаем уравнения относительно неизвестных, объединив которые с уравнениями (1) и (2) приходим к полной системе 6 неоднородных уравнений с 6 неизвестными M_A, R_A, …, R_E. Решение этой системы единственное, что соответствует объективной реальности задач прочности.

б) Метод сил.

Степень статической неопределимости

Простейшая основная система, получаемая при отбрасывании 4 катковых опор B, C, D, E не является оптимальной с точки зрения трудоемкости ввиду полноты системы уравнений.

M P

q

Простейшая эквивалентная система метода сил

x₁ x₂ x₃ x₄

x₁ x₂ M x₃ P x₄ q

Рациональная эквивалентная система

l_i l_i+1

i единичная эпюра моментов основной системы

i единичная эпюра моментов

1

(i-1) единичное состояние основной системы

(i-1) единичная эпюра моментов

1

(i+1) единичное состояние основной системы

(i+1) единичная эпюра моментов

1

М Р q

Грузовое состояние основной системы

Грузовая эпюра моментов

Более рациональной будет основная система, получаемая путем врезки шарниров в заделке и

промежуточных опорах. Рассмотрев единичные и грузовые состояния с построением эпюр моментов замечаем, что для i произвольной опоры каноническое уравнение перестает быть полным и упрощается к виду:

Система таких уравнений при i=1,2,…n получила название уравнений трех моментов, так как неизвестные играют роль опорных моментов.

При таком модифицированном подходе не только уменьшается количество неизвестных в каждом из уравнений, но и значительно облегчается вычисление коэффициентов , а так же решение системы уравнений, которая становится ленточной.

в) Метод перемещений.

Степень кинематической неопределимости , т.к. в противном случае балка станет геометрически изменяема. Для выбора основной системы во всех опорных сечениях вводим виртуальные заделки.

1 2 3 4

ОснОсновная система метода перемещения

Так как в каждом узле сходится два стержня и линейные перемещения отсутствуют, то для i промежуточной опоры каноническое уравнение упрощается к виду, аналогичному (*).

Оно носит название уравнения трех углов, т.к. все неизвестные играют роль углов поворота опорных сечений.

Для расчета неразрезных балок на временную нагрузку необходимо построение линий влияния. Однако для статически неопределимых балок такое построение становится затруднительным. Рассмотрим кинематический метод построения линий влияния, который позволяет легко получить форму линии влияния, но при этом не дает численных значений характерных ординат.

Сущность метода заключается в следующем:

1. Удаляется связь, соответствующая тому фактору, для которого строится линия влияния. Например, если строится линия влияния реакции, то нужно отбросить опору. Если строится линия влияния изгибающего момента в некотором сечении, то в этом сечении врезается шарнир. Если строится линия влияния поперечной силы, то производится так называемый скользящий разрез, когда расстояние межлу смежными сечениями при деформации балки не изменяется.

брус

бр

ус

i

Три внутренних связи

Жесткое соединение 2 частей (склеивание)

Шарнирное соединение (удалена одна горизонтальная связь)

x_i

Скользящий разрез (удалена одна диагональная связь)

2. Удаленная связь заменяется соответствующей реакцией связи (согласно аксиоме статики) и составляется уравнение метода сил, выражающее равенство нулю перемешения по направлению отброшенной связи:

Где - искомое усилие,- единичная сила в произвольной точке балки,- возможное обобщенное перемещение по направлению; в качестве которого можно принять податливость основной системы,– перемещение по направлению, вызванное единичной силой.

Согласно теореме Максвелла о взаимности перемещений , где- перемещение по направлению единичной силы от действия искомого фактора. Это перемещение полностью определяет вид упругой линии балки, т.е. эпюру прогибов.

Решая каноническое уравнение, получаем:

Таким образом, чтобы получить форму линии влияния, необходимо приложить к основной системе единичную силу и показать примерный вид упругой линии балки.

Построим линии влияния реакции , изгибающего моментаM₁ и поперечной силы Q₂.

1 2

Заданная система

A

B 1 C 2DE

R_C

Статически неопределимая основная система

Опоры C нет

Кубическая парабола

Упругая линия балки = линия влияния R_C

Шарнир

Статически неопределимая основная система

Упругая линия балки = линия влияния М₁

Скользящий разрез

Статически неопределимая основная система

Упругая линия балки = линия влияния Q₂