Теорема о потенциальной энергии внутренних сил упругости

Потенциальная энергия есть суммарная интегральная квадратичная функция внутренних усилий, возникающих во всех сечениях элементов сооружения при его нагружении.

Для пространственных конструкций она имеет следующее выражение:

1 слагаемое учитывает растяжение-сжатие;

2 и 3 слагаемые учитывают сдвиг;

4 и 5 слагаемые учитывают изгиб;

6 слагаемое учитывает кручение.

Для плоских стержневых систем:

Для плоских рам, стержни которых работают преимущественно на изгиб:

Докажем последнюю формулу. Выделим из стержня (балки), подверженного чистому изгибу, элемент бесконечно малой длины и рассмотрим схему его деформации, вызванной действием изгибающих моментов, переведенных в разряд внешних сил.

dθ

M M

dz

Примем оба момента М за обобщенную силу, а взаимный элементарный угол поворота смежных сечений за обобщенное перемещение. Тогда, согласно теореме Клапейрона, элементарная работа будет равна:.

Воспользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси балки:

Преобразуем его, учитывая что .

Подставляя в элементарную работу, получаем:

Интегрируя по всей длине стержня, находим:

Согласно закону сохранения энергии работа, совершаемая внешними силами, с небольшими потерями (порядка 0,01%) на нагрев и другие эффекты переходит в потенциальную энергию внутренних сил упругости. Эта энергия, накаливаясь в элементах сооружения, обеспечивает его равновесное состояние при воздействии нагрузок и возвращает в исходное состояние после снятия нагрузок. Произведем суммирование по всем m стержням сооружения и учтем, что U=W. Тогда получаем:

Мы видим, что изгибающий момент стоит под знаком интеграла во второй степени и, следовательно, потенциальная энергия внутренних сил упругости есть интегральная квадратичная функция внутреннего усилия. В силу этого к потенциальной энергии не применим принцип суперпозиции, т.е. если обозначать энергию, создаваемую при действии силы F₁ через U_1, создаваемую при действии силы F₂ через U₂, создаваемую при действии обеих сил через U, то , в общем случаеU_Σ.

Интеграл Мора для определения перемещений

Перемещение любой точки конструкции есть суммарная интегральная функция от произведения внутренних усилий, возникающих в сечениях в двух состояниях системы: действительном и возможном.

i P_i=1

i

Для изгибаемых конструкций интеграл Мора имеет вид:

При доказательстве теоремы Бетти мы рассмотрели две последовательности нарущения упругой конструкции и получили:

при этом

Следовательно, можно записать равенство:

Выразим отсюда взаимную работу:

Работы, стоящие в правой части, заменим потенциальными энергиями внутренних усилий (моментов), учитывая, что M(F₁,F₂)=M(F₁)+M(F₂)=M₁+M₂.

Взаимная работа выражается через обобщенную силу и обобщенное перемещение.

Применим в качестве I обобщенной силы возможную (отсутствующую в реальном времени) единичную силу .

В качестве II обобщенной силы принимаем заданные внешние нагрузки . Следовательно, ∆₁₂ – это действительное перемещение от внешних нагрузок по направлению возможной единичной силы:

Приравнивая правые части формул (*) и (**), получаем:

Эта формула носит название интеграла Мора для определения перемещений.

Здесь ∆_iF – действительное перемещение i точки конструкции в направлении единичной обобщенной силы, вызванное внешней нагрузкой; и изгибающий момент, возникающий в сеченииZ от действия единичной силы - изгибающий момент, возникающий в сеченииZ от действия заданной внешней нагрузки .