- •§6. Основные теоремы о линейно-деформируемых системах (лфс)
- •Теорема Клапейрона о работе внешних нагрузок
- •Теорема Бетти о взаимности работ и теорема Максвелла о взаимности перемещений
- •Теорема о потенциальной энергии внутренних сил упругости
- •Интеграл Мора для определения перемещений
- •Теорема Кастильяно о взаимности энергии и перемещений
- •Теорема Рэлея о взаимности реакций
- •Правило Верещагина для перемножения эпюр
- •Формулы трапеций и Симпсона
- •§7. Силовой расчет статически неопределимых стержневых систем (снс).
- •Достоинства:
- •Недостатки:
- •Метод сил
- •1 Единичное состояние о.С.
- •5 Единичное состояние о.С.
- •3 Единичное состояние о.С.
- •Метод перемещений
- •Комбинированный метод.
- •Смежный метод.
- •Метод конечных элементов.
- •Метод предельного равновесия.
- •§8. Расчет статически неопределимых балок, арок и ферм. Неразрезные балки.
- •Синтез:
- •Неразрезные арки
- •Статически неопределимые фермы.
- •§9. Расчет пространственных стержневых систем.
- •§10. Колебания стержневых систем.
- •Собственные колебания систем с n степенями свободы.
- •Внутренние колебания систем с n степенями свободы.
Внутренние колебания систем с n степенями свободы.
Приложим к рассмотренной выше раме, имеющей n динамических степеней свободы, возмущающую силу, изменяющуюся по гармоническому закону , где- амплитуда,- частота изменения силы.
Конструкция начнет совершать свободные и вынужденные колебания, которые будут накладываться друг на друга. В силу наличия сил внешнего и внутреннего трения, собственные колебания быстро затухнут и система станет совершать установившиеся вынужденные колебания с частотой возмущающей силы. Все массы получат перемещения, изменяющиеся по гармоническому закону:
.
Найдем перемещение по направлению i степеней свободы:
Силы инерции:
Где - амплитудное значение силы инерции. Из выражения находим:
Подставляя силы инерции и перемещение в формулу (*), получаем:
Обозначим - перемещение по направлениюi степени свободы от статического действия силы, равной амплитуде возмущающей силы. Приведем подобные члены.
Раскрывая по всем i=1,2,…,n, получаем систему неоднородных алгебраических уравнений относительно амплитуд сил инерции.
Здесь введено обозначение - динамическая податливость. Она меньше статической податливостина величинуи может быть как положительной, так и отрицательной.
Решая систему неоднородных уравнений, находим амплитудные значения сил инерции . Затем строим окончательную динамическую эпюру изгибающих моментов:
Где ,- единичная и грузовая эпюры моментов, которые строятся предварительно с целью определения коэффициентов при неизвестных.
Рассмотрим два частных случая:
а) система с одной степенью свободы.
F(t)
m F(t) m
Если сила F(t) приложена к массе m, то откуда находим
. Следовательно, .
Вычислим суммарную динамическую силу, которая складывается из силы инерции и возмущающей силы.
Обозначим - динамический коэффициент. Тогда получаем:
–динамическая эпюра изгибающих моментов.
Покажем график изменения динамического коэффициента в зависимости от отношения вынужденной частоты колебания к собственной частоте колебания
1
0 0.5 1 1.5 2
При - система приходит в состояние резонанса, т.е. теоретически она может быть разрушена при достаточно малой возмущающей силе.
В дорезонансном состоянии .
В послерезонансном состоянии
Мы видим, что конструкция малочувствительна к высокочастотным колебаниям, которые называют вибрациями.
б) система с двумя степенями свободы.