63

§6. Основные теоремы о линейно-деформируемых системах (лфс)

Линейно-деформируемыми системами будем называть такие соотношения, все элементы которых изготовлены из материалов, подчиняющихся закону Гука при заданном уровне внешних нагрузок (каково удлинение – такова сила). Закон Гука определяет физическую линейность стержневых систем.

В ЛФС напряжения и перемещения пропорциональны величине нагрузки.

Различают физическую и геометрическую линейность. Используется так же понятие о геометрической линейности. Если внутренние усилия в элементах рассчитываются по т.н. недеформируемой схеме, не учитывающей изменения размеров и формы сооружения, то говорят о геометрической линейности сооружения.

В сопротивлении материалов при статических расчетах используют принцип начальных размеров.

Большинство конструкций расчитывают на простое статическое нагружение. Статическое нагружение происходит во времени настолько медленно, что позволяет не учитывать силы инерции. При простом нагружении силы прикладываются:

а) поочередно;

б) одновременно, но пропорционально некоторому общему параметру.

При простом нагружении нагрузка недопустима, т.е. силы добавляются, но не снимаются.

P_i=α_iP,

где α_i – численный коэффициент, Р – параметр.

а) Р б) Р

P₃^

P₁^ P₂^

t t

t

t

 - статическая нагрузка, - стационарная нагрузка;

Для простого нагружения справедливы принципы:

1. Окончательный результат действия системы сил не зависит от последовательности приложения сил – принцип произвольной очередности нагружения.

2. Результат действия какой-либо силы не зависит от наличия или отсутствия других сил – принцип независимости действия отдельных сил.

3. Результат действия системы сил равен сумме результатов действий каждой силы в отдельности – принцип наложения, или суперпозиции.

Основываясь на этих принципах, в расчетах можно рассматривать как отдельные силы, так и все силы вместе. Кроме того, несколько сил системы можно объединять в группы по какому-либо признаку.

Для упрощения теоретических выкладок при доказательстве теорем и выводе расчетных формул вводятся понятия об обобщенных силах и обобщенных перемещениях.

За обобщенную силу можно принять любую группу сил, если для нее можно указать соответствующее обобщенное перемещение. Обобщенным называется такое перемещение, на котором обобщенная сила совершает работу. Таким образом объединяющим понятием является работа. Рассмотрим два основных случая вычисления работы.

1. Сила постоянна: W=FS

F

S

2. Сила изменяется статически: W=FS

F

S

F

A F

S₁ A₁

S_F

Силы, перемещения и работы делятся на два вида: действительные и возможные.

В результате действия внешних нагрузок (действительных сил) упругая конструкция напрягается и деформируется, в результате чего точки приложения сил получают действительные перемещения, на которых внешние силы совершают действительную работу. При расчетах можно представить некоторую воображаемую нагрузку (возможную силу), способную вызвать воображаемые перемещения точек, на которые не наложено связей. Такие перемещения будут возможными и на них силы могут совершать возможную работу.

Покажем примеры обобщенных сил и обобщенных перемещений.

1. Сосредоточенную силу Р можно принять за обобщенную силу, а прогиб под силой ν за обобщенное перемещение, т.к. W=Pν

Р=0 P

Р_max ν W P_max=P

ν

2. Пару сил с моментом М можно принять за обобщенную силу, а угол поворота сечения θ за обобщенное перемещение, т.к. W=Pθ

М=0

θ

М_max

3. Интенсивность распределенной нагрузки q можно принять за обобщенную силу, а площадь эпюры прогибов ω за обобщенное перемещение, т.к. W=qω

q=0

ω q_max

Докажем несколько теорем о линейно-деформируемых системах.