Формулы трапеций и Симпсона

Воспользуемся правилом Верещагина для перемножения двух прямолинейных эпюр, имеющих вид трапеций. Разобьем обе трапеции на треугольники, у которых площади и положения центров тяжести легко определяются.

Эпюра M_F

ω₁

C₁ C₂

ω₂

Эпюра

Мы получили формулу трапеций, согласно которой произведения соответствующих левых и правых ординат эпюр необходимо удвоить, а произведения перекрестных ординат взять одинарными, и полученную сумму умножить на одну шестую длины эпюр.

Рассмотрим случай, когда грузовая эпюра представлена квадратной параболой, а единичная эпюра – трапецией.

ω_П.С.

Наряду с крайними ординатами укажем и средние.

Разобьем криволинейную эпюру на трапецию и параболический сегмент.

Произведем перемножение соответствующих фигур.

ω_T

Выражение I_Т у нас имеется. Найдем .

Площадь параболического сегмента:

Ордината единичной эпюры под центром тяжести параболического сегмента:

После подстановки получаем формулу Симпсона:

Произведение двух эпюр равно сумме произведений крайних ординат и учетверенному произведению средних ординат, умноженной на одну шестую длины эпюр.

§7. Силовой расчет статически неопределимых стержневых систем (снс).

Статически неопределимые системы (СНС) имеют преимущества и недостатки по сравнению со статически определимыми системами (СОС).

Достоинства:

1. СНС обладают большей живучестью при эксплуатации под нагрузкой, чем СОС. В СОС все элементы практически равнонапряжены, и поэтому они имеют резервы прочности только в пределах коэффициента запаса k =1,5 – 2. Если хотя бы один элемент перейдет в предельное состояние, вся конструкция получит недопустимые с точки зрения норм расчета деформации или разрушится. СНС – это неравнонапряженная конструкция и при переходе наиболее напряженного элемента в предельное состояние, происходит перераспределение усилий от возросшей нагрузки на менее напряженные элементы.

2. СНС, в силу наличия лишних связей и избыточной жесткости отдельных элементов, менее деформативны, чем СОС, т.е. в них меньше линейные угловые перемещения.

Недостатки:

1. СНС более сложны в расчете, чем СОС, что объясняется наличием избыточных (лишних) связей. Трудоемкость расчета СНС пропорциональна третьей степени количества лишних связей, т.е. . Например, если для двух системn₁=1, n₂=4, то t₁=α, t₂=64α, т.е. время расчета возрастает в 64 раза.

2. В СНС распределение усилий в элементах зависит от их геометрических размеров, определение которых, в свою очередь, является основной задачей сопротивления материалов. Таким образом, возникает необходимость априорного назначения изгибных жесткостей и поперечных сечений отдельных стержней: (EY)_k=α_k(EY), что приводит к неоднозначности конструктивных решений.

Более удачные назначения жесткостей, зависящие от понимания сущности задач сопротивления материалов, приведет к созданию более оптимальных конструкций.

3. В СНС возможно появление трудно предсказуемого по величине напряженно-деформированного состояния, вызванного температурными изменениями и независимой осадкой опор. Изменение температуры одного из элементов вызывает появление температурных напряжений во всех стержнях СНС. Равно как неточность изготовления одного из стержней или смещение одной связи вызывает появление монтажных напряжений во всех стержнях. В СОС таких напряжений не возникает.

Рассмотрим основные методы расчета СНС при статическом воздействии нагрузок.