- •§6. Основные теоремы о линейно-деформируемых системах (лфс)
- •Теорема Клапейрона о работе внешних нагрузок
- •Теорема Бетти о взаимности работ и теорема Максвелла о взаимности перемещений
- •Теорема о потенциальной энергии внутренних сил упругости
- •Интеграл Мора для определения перемещений
- •Теорема Кастильяно о взаимности энергии и перемещений
- •Теорема Рэлея о взаимности реакций
- •Правило Верещагина для перемножения эпюр
- •Формулы трапеций и Симпсона
- •§7. Силовой расчет статически неопределимых стержневых систем (снс).
- •Достоинства:
- •Недостатки:
- •Метод сил
- •1 Единичное состояние о.С.
- •5 Единичное состояние о.С.
- •3 Единичное состояние о.С.
- •Метод перемещений
- •Комбинированный метод.
- •Смежный метод.
- •Метод конечных элементов.
- •Метод предельного равновесия.
- •§8. Расчет статически неопределимых балок, арок и ферм. Неразрезные балки.
- •Синтез:
- •Неразрезные арки
- •Статически неопределимые фермы.
- •§9. Расчет пространственных стержневых систем.
- •§10. Колебания стержневых систем.
- •Собственные колебания систем с n степенями свободы.
- •Внутренние колебания систем с n степенями свободы.
§10. Колебания стержневых систем.
При воздействии на конструкцию нагрузок, меняющихся во времени, элементы конструкции совершают колебания, т.е. периодически повторяющиеся движения. Известно два наиболее простых видов колебаний:
Собственные, или свободные;
Вынужденные.
Свободные совершаются под влиянием какого-либо начального воздействия, например, импульса силы, а вынужденные – в результате непрерывного действия возмущающей силы.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы.
y
y
невесомая балка
масса
Если нарушить равновесие системы, приложив импульс к массе или отклонив массу от состояния статического равновесия и затем предоставив самой себе, то при отсутствии сил сопротивления система будет совершать свободные колебания по гармоническому закону:
Где – начальное отклонение массы,– начальная скорость массы,- круговая частота, т.е. число колебаний засекунд,- амплитуда колебаний,- начальная фаза колебаний,;при.
Частота колебаний является главнейшей динамической характеристикой конструкции. Величина, обратная круговой частоте, называется периодом колебаний . Число колебаний за одну минуту называют технической частотой .
Если нагрузка претерпевает изменения в промежуток времени менее двух периодов свободных колебаний, то нагрузку следует считать динамической, а если изменяется в течении времени более пяти периодов колебаний, то эффект такой нагрузки близок к статическому. Если к массе приложить силу F(t), изменяющуюся по какому-либо закону, то система будет совершать вынужденные колебания.
F(t)
y
m
Перемещение массы в момент времени t будет определяться выражением:
Собственные колебания систем с n степенями свободы.
Рассмотрим невесомую раму, несущую n сосредоточенных масс, имеющих по одной степени свободы. Отклоним конструкцию от состояния статического равновесия и предоставим ее самой себе. Каждая из масс начнет совершать сложное движение, складывающееся из n простых движений следующего вида:
Pni Pnn
mi mn
Pn,2
m2 Pn,1
m1
Исследуем это движение.
Применим к движущейся системе принцип Даламбера, который позволяет заменить дифференциальные уравнения движения квазистатическими уравнениями равновесия. Приложим к каждой массе силу инерции
Как видно, сила инерции пропорциональна массе перемещению и квадрату частоты.
Вычислим перемещение по направлению степени свободы i массы, используя принцип суперпозиции:
Приведем подробные члены и разделим на квадрат частоты:
Раскрывая по всем i=1,2,…,n, получаем систему однородных алгебраических уравнений относительно перемещений.
(*)
Для получения нетривиального решения необходимо потребовать, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, обращался в ноль.
Раскрывая определитель, получаем алгебраическое уравнение n степени относительно величины .
Это уравнение называется уравнением частот, или вековым уравнением. В коэффициенты будут входить податливость и массы.
Решая уравнение, находим n действительных корней , и, следовательно,n различных частот колебаний .
Сложное движение каждой массы будет складываться из простых движений, соответствующих частотам колебаний.
Совокупность простых движений всех масс системы для какой-либо частоты колебаний определяет форму колебаний для этой частоты.
k форма колебаний.
Амплитудной формой колебаний называют такое отклонение системы от состояния равновесия, для которого . Каждая масса получает амплитудное перемещение, которое можно найти как результат действия системы максимальных сил инерции.
Чтобы определить амплитудную форму колебания конструкции, необходимо решить систему однородных уравнений, получаемых из (*).
(**)
Так как определитель равен нулю, то система имеет несчетное множество решений. Обычно ее решают с точностью до постоянного множителя, полагая и отбрасывая, как лишнее, последнее уравнение системы, которое используют для проверки.
Формы колебаний системы обладают свойством ортогональности:
Где - амплитудамассы приформе колебаний;
- то же при форме колебаний.
Если в системах уравнений (*) и (**) удается получить все побочные податливости равными нулю, т.е. при, то системы распадаются наn независимых уравнений и легко решается.
Такие формы колебаний называют главными формами колебаний. В этом случае система с n степенями свободы ведет себя как система с одной степенью свободы, что облегчает динамический расчет.
Рассмотрим два частных случая.
а) Система с одной степенью свободы.
А1
I форма
б) Система с двумя степенями свободы.
A11=1 A21
II форма
А12=1 А22
Первой (меньшей) частоте соответствует знак плюс перед радикалом, а второй (большей) частоте – знак минус.