Метод сил

Основная проблема СНС – это наличие лишних связей, что наделяет эти системы особыми свойствами, рассмотренными выше. С точки зрения расчета, эти связи не позволяют решить задачу на основе уравнений равновесия и метода сечений. Необходимо, как известно, составить еще и n дополнительных уравнений на основе условий совместности деформаций (перемещений).

В методе сил за известное принимают реакции в лишних опорных связях и (или) внутренние усилия, соответствующие лишним внутренним связям. Эти неизвестные с целью упрощения разрешающих уравнений обозначают: , гдеn=R-U – степень статической неопределимости, равная числу избыточных связей. Для плоских рам эта величина определяется по формуле:

K- число замкнутых контуров;

U_ш – число простых шарнирных узлов, включая шарнирно-неподвижные опоры;

U_n – число подвижных узлов, включая шарниро-подвижные опоры (катки).

Из R внешних и внутренних связей необходимо выбрать n безусловно не необходимых и, отбросив их, получить основную систему, которая должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой.

Рассмотрим пример.

x₅

С

II_k

x₄

x₄

x₅

P

P

I_k

А В A H_A x₁ B

x₃

x₂

M_A

A

Заданная система

n=3K-U_ш-2U_n=3*2-1-2*0=5.

Основная система

n₀=R-U=3-3=0

Эквивалентная система

Заданная рама 5 раз статически неопределима: 3 раза внешне и 2 раза внутренне. Наметим лишние связи: 3 внешних связи в заделке В и 2 внутренние связи в шарнире С. Показанная основная система геометрически неизменяема, т.к. состоит из одного диска, присоединенного к земле тремя связями. При этом она и статически определима. В эквивалентной системе введены следующие обозначения: x₁=H_B; x₂=V_B; x₃=M_B; x₄=N_C; x₅=Q_C.

Так как мы заменили связи реакциями связей, то эквивалентная система полностью адекватна заданной системе как в статическом, так и в кинематическом смыслах (усилия и перемещения в заданной и эквивалентной системе одинаковы). Преимущество эквивалентной системы в том, что если силы x_i причислить к внешним нагрузкам, то эквивалентная система статически определима и поэтому легко решается.

Вычислим перемещение по направлению i отброшенной связи, испльзуя принцип суперпозиции.

Для эквивалентрой системы:

где -податливость основной системы, - перемещение вызванное заданной внешней нагрузкой в основной системе.

В заданной системе связи наложены, поэтому .

На основе адекватности получаем:

().

Раскрывая по всем i, получаем систему канонических уравнений метода сил для определения лишних неизвестных:

Каждое из уравнений имеет следующий физический смысл: перемещение в основной системе по направлению отброшенной связи, вызванное действием лишних неизвестных и внешней нагрузки, всегда равно нулю.

Податливости и перемещенияв основной системе определяют по интегралу Мора, с использованием правила Верещагина и формул трапеции или Симпсона.

Например, чтобы определить податливость , рассмотренной нами необходимо построить и перемножить единичные эпюры.

C₁ C₂

h h

h h