ZO-2008

вию задачи внешнее магнитное поле в пределах рамки однородное и его индукция постоянная. Тогда

Ф2 = òdФ2 =ò B dS = Bò dS = BS .

S S S

Модуль вектора индукции В дается формулой (3), а площадь рамки S = ab. Итак

Ф2 = μ2π0Il аb = μ20πI b al ,

здесь l – расстояние от провода с током до центра рамки.

Полученные значения магнитных потоков Ф1 и Ф2 подставляем в формулу

(1), сокращаем на общий множитель μ20πI b и определяем относительную погреш-

ность

Подставим в формулу числовые значения сторон рамки a, b и расстояния l,

получим

Ответ: относительная погрешность равна 1,24%.

ЗАДАЧИ

331. Найти поток вектора магнитной индукции Φ, пересекаемый радиусом диска ab = R = 10,0 см за время вращения t = 1,00 мин (см. рис. 25 приложения). Индукция магнитного поля B = 0,10 Тл, частота вращения диска n = 5,30 об/с.

81

332. Определить, во сколько раз отличаются потоки вектора магнитной ин- дукции Ф, пронизывающие квадратную рамку, при двух её положениях r1 = a, r2 = 5a относительно прямого проводника с током I (см. рис. 26 приложения).

333. Через центр кольца перпендикулярно его плоскости проходит длинный прямолинейный провод, по которому течёт ток I = 25,0 А. Кольцо имеет четырех- угольное сечение и толщину h = 5,00 мм. Внутренний радиус кольца R1 = 18,0 мм, внешний R2 = 22,0 мм (см. рис. 27 приложения). Найти поток вектора магнитной индукции Ф, пронизывающий площадь сечения кольца.

334. Длина соленоида l = 50,0 см. Его диаметр значительно меньше длины и витки плотно прилегают друг к другу. Поток вектора индукции магнитного поля сквозь сечение соленоида Ф = 50,0 мкВб. Найти магнитный момент рм соленоида.

335. В средней части соленоида, содержащего n = 8 витков на сантиметр, по- мещен круговой виток диаметром d = 4,00 см. Плоскость витка расположена под углом ϕ = 600 к оси соленоида. Определить поток вектора индукции магнитного поля Ф, пронизывающий виток, если по обмотке соленоида течет ток I = 1,00 А.

336. На длинный картонный каркас диаметром D = 5,00 см уложена одно- слойная обмотка виток к витку из проволоки диаметром d = 0,20 мм. Определить поток вектора индукции магнитного поля Ф, создаваемого соленоидом, если по нему пропустить ток силой I = 0,50 А.

337. Определить поток вектора индукции магнитного поля Ф, пронизываю- щий соленоид, если его длина l = 50,0 см и магнитный момент pм = 0,40 А м2.

338. В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течёт ток силой I = 50,0 А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие сторо- ны её длиной l = 65,0 cм параллельны проводу, а расстояние от провода до бли- жайшей из этих сторон равно её ширине (см. рис. 19 приложения). Найти поток вектора индукции магнитного поля Ф, пронизывающий рамку.

339. Тороид квадратного сечения содержит N = 1000 витков. Наружный диа- метр тороида D1 = 40,0 см, внутренний D2 = 20,0 см. По обмотке тороида протека- ет ток I = 10,0 А. Найти поток вектора магнитной индукции в тороиде.

340. По круговому контуру, охватывающему площадь S = 40,0 cм2 протекает ток I = 5,00 А. Определить поток вектора магнитной индукции Ф через площадь кольца, лежащего в плоскости контура так, что их центры совпадают. Внешний радиус кольца R1 = 4,00 м, внутренний R2 = 2,00 м (см. рис. 24 приложения). Вос-

пользоваться формулой для индукции магнитного поля кругового витка с током в точке, лежащей в плоскости витка на расстоянии r от его оси (В = μ0IS / 4πr3).

Рабочая программа Тема 23. Магнитное поле в вакууме. Работа по перемещению проводника

и контура с током во внешнем магнитном поле

82

Пример решения задач

Виток радиусом R = 2,00 см, по которому течет ток силой I = 10,0 A, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В = 1,50 Тл. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол ϕ = 1800 во-

круг оси, совпадающей с диаметром витка. При повороте витка сила тока в нем поддерживается постоянной.

По условию задачи, в начальном положении виток свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю, а значит и угол ϕ = 0, то есть

векторы pм и B совпадают по направлению.

Если внешние силы выведут виток из положения равновесия, то возникший механический момент сил, определяемый формулой (1), будет стремиться возвра- тить виток в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться ра- бота внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворо- та ϕ ), то для расчета работы применим формулу работы при повороте витка на элементарный угол dϕ

dA = Mdϕ .

Подставив сюда выражение момента из формулы (1) и учтя, что pм = IS , по-

лучим

dA = IB S sinϕ dϕ .

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте витка на ко- нечный угол ϕ :

83

Подставим в формулу числовые значения величин и произведём вычисления

А = 2·10,0·1,50·3,14·(2,00·10–2)2 = 3,75·10–2 Дж.

Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил по перемеще- нию витка с током в магнитном поле равна произведению силы тока I на измене- ние магнитного потока Ф , пронизывающего виток:

здесь Ф1 и Ф2 – конечное и начальное значение магнитного потока, пронизываю- щего виток. По определению магнитный поток сквозь поверхность контура

Φ = ò BdS cosα .

S

Для однородного поля и плоского витка эта формула принимает вид Φ = BS cosα , где В – магнитная индукция поля, S – площадь ограниченная вит-

ком, α – угол между вектором магнитной индукции B и нормалью n , проведён- ной к плоскости витка. Для данной задачи в первом положении витка α = 0, тогда

Φ1 = BS cos0 = BS . Во втором положении витка α = 1800 и Ф2 = −BS . Следова- тельно, как следует из (3),

A = I (BS - ( -BS )) = 2IBS = 2IBπ R2 ,

что совпадает с полученным ранее выражением (2).

Ответ: для поворота витка с током нужно совершить работу А = 3,75·10–2 Дж.

ЗАДАЧИ

341. Контур из мягкой проволоки в форме равностороннего треугольника со стороной а = 30,0 см и током I = 10,0 А лежит на столе. Включают однородное магнитное поле с индукцией В = 0,20 Тл. Плоскость контура и вектор индукции магнитного поля образуют угол α = 300. Под действием сил Ампера контур де- формируется в окружность, оставаясь на столе. Определить работу А сил Ампера.

342. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по кото- рому протекает ток I1 = 5,00 А, расположена проволочная прямоугольная рамка со сторонами b = 10,0 см и l = 20,0 см (см. рис. 28 приложения). Длинные стороны рамки параллельны прямому току, причем ближайшая находится от него на рас- стоянии r = 5,00 см и в ней течет ток I2 = 0,20 А в том же направлении. Найти ра- боту А, которую надо совершить, чтобы повернуть рамку на 1800 вокруг оси, про- ходящей через дальнюю от прямого провода длинную сторону рамки.

84

343. Два прямых длинных параллельных проводника находятся на некотором расстоянии друг от друга. По ним текут в одном направлении одинаковые токи I. Чтобы раздвинуть эти проводники на расстояние вдвое большее, надо совершить работу (на единицу длины проводников) А/l = 55,0 мкДж/м. Найти эти токи.

344. Квадратный проводящий контур со стороной а = 10,0 см по которому течет ток I = 6,00 А, находится в магнитном поле (В = 0,80 Тл) под углом α = 500 к линиям его индукции. Какую работу А нужно совершить, чтобы при неизменной силе тока в контуре изменить его форму на окружность?

345. Плоский проводящий контур с током I = 5,00 А свободно установился в однородном магнитном поле (В = 0,40 Тл). Площадь контура S = 200 см2. Под- держивая неизменным ток в контуре, его повернули относительно оси, лежащей в плоскости контура, на угол α = 400. Определить совершенную при этом работу А.

346. Прямой бесконечно длинный провод с током I1 = 5,00 А и прямоуголь- ная рамка, по которой протекает ток I2 = 3,00 А, расположены в одной плоскости. Большая сторона рамки l = 1,00 м, параллельна прямому току и отстоит от него на расстояние r = 0,10b, где b — длина другой стороны рамки (см. рис. 28 приложе- ния). Определить работу А по повороту рамки на угол α = π/2 относительно оси,

параллельной прямому току и проходящей через середины противоположных сторон b рамки.

347. По кольцу из тонкого гибкого провода радиусом R = 10,0 cм, течёт ток силой I = 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено магнитное поле

с индукцией В = 0,10 Тл совпадающей по направлению с вектором индукции В 1 собственного магнитного поля кольца. Определить работу А внешних сил, кото- рые, действуя на провод, деформировали его и придали ему форму квадрата.

348. Расстояние между двумя прямолинейными длинными параллельными проводниками d1 = 10,0 см. По проводникам в одном направлении протекают токи I1 = 20,0 А и I2 = 30,0 А. Какую работу на единицу длины проводников А/l надо совершить, чтобы увеличить расстояние между ними до d2 = 20,0 см?

349. Вблизи длинного прямого провода, по которому течёт ток I1 = 10,0 А, расположена квадратная рамка с протекающим по ней током I2 = 1,00 А (см. рис. 28 приложения). Рамка и провод лежат в одной плоскости. Стороны рамки равны b = 6,80 см, расстояние r = 4,00 см. Найти работу А по перемещению прямого провода в положение, указанное штриховой линией.

350. Медный диск, радиус которого R = 20,0 см, помещен в магнитное поле с индукцией B = 0,50 мТл так, что плоскость диска перпендикулярна к направле- нию вектора индукции магнитного поля. Диск может вращаться вокруг оси, про-

ходящей через его центр и параллельной вектору В . По радиусу диска протекает электрический ток I = 0,20 А (см. рис. 25 приложения). Определить работу А, ко- торую совершают силы поля при одном полном обороте диска.

85

Рабочая программа Тема 24. Магнитное поле в вакууме. Циркуляция вектора индукции маг-

нитного поля. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

Пример решения задач

По прямому бесконечно длинному цилиндрическому проводнику из меди течет ток, плотность которого j меняется с расстоянием от оси проводника по закону j = kr2, где k =2 108 A/м4. Радиус проводника R = 20,0 мм. Определить индукцию магнитного поля В в двух точках, расположенных на расстояниях r1 = 10,0 мм и r2 =40,0 мм от оси проводника.

O

Анализ и решение

Расстояние от оси проводника с током до точек, где необходимо найти ин- дукцию В магнитного поля, соизмеримо с его радиусом. Поэтому нельзя заранее предположить, что индукцию поля, созданного этим проводником, можно рассчи- тывать по известной формуле, полученной на основании закона Био-Савара для прямого линейного тока.

По условию задачи изменение плотности тока происходит по радиальному закону, значит и магнитное поле обладает цилиндрической симметрией. Следова- тельно, линии индукции магнитного поля – окружности лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси проводника и концентричных ему. Это позволяет восполь- зоваться для расчета поля теоремой о циркуляции индукции магнитного поля (за-

коном полного тока): «Циркуляция вектора индукции магнитного поля по любому замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на магнитную постоянную»

86

где dl – вектор, модуль которого равен элементу длины контура dl, μ0 , Ii и Iiмол

– соответственно магнитная постоянная, токи проводимости и молекулярные то- ки.

Выбираемый замкнутый контур L должен отвечать следующим условием:

1)проводится в виде окружности, совпадающей с линией индукции,

2)величина индукции вдоль контура должна быть постоянной,

3)проходить через точку поля, в которой необходимо определить B.

Для определения индукции магнитного поля внутри медного проводника,

воспользуемся соотношением между двумя характеристиками магнитного поля

B1 = μ0μH1,

здесь H1 – вектор напряженности магнитного поля, характеризующий магнитное поле токов проводимости, μ – магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле токов проводимости усиливается за счет поля мо- лекулярных токов.

Проведем в сечении проводника контур интегрирования L1 радиусом r1 (см. рисунок). Тогда в соответствии с законом полного тока

здесь учтено, что для всех элементов этого контура cos(H1 ^ dl ) = 1.

Найдем ток I1, охватываемый этим контуром. Поскольку плотность этого то- ка в разных точках сечения проводника разная, то разбиваем сечение на элемен- тарные участки в виде сегмента (см. рисунок). Площадь этого участка равна

dS = dldr = rdϕdr .

Произведение плотности тока на площадь элементарного участка есть вели- чина тока, текущего через этот участок

dI1 = jdS = j rdϕdr .

Для определения тока, протекающего через площадку, охватываемую конту- ром L1, нужно сложить токи, протекающие через элементарные площадки, а так как площадок бесконечное множество, то сумма переходит в интеграл:

Откуда

87

H1 = k 14 r13 ,

B1 = μоμH1 = μоμk 14 r13 .

В этой формуле μ – магнитная проницаемость меди, её значение очень близко к единице.

Для решения второй части задачи проведем через т. 2, находящуюся вне про- водника, вспомогательный замкнутый контур L2 (см. рисунок). Так как контур совпадает с линией индукции и во всех точках контура величина индукции В2 по- стоянна, то циркуляция

!ò В2dl cos(В2 ^ dl ) = B2 !ò dl = B2 2π r2 ,

здесь учтено, что для всех элементов этого контура cos(В2 ^ dl ) = 1.

Для определения тока, охватываемого контуром, нужно найти ток, проте- кающий через все сечение проводника:

По закону полного тока циркуляцию индукции нужно приравнять току I2, умноженному на μ0 ,

B2 2π r2 = μ0π k 12 R4

Откуда

B2 = μ0k 1 R4 .

4 r2

Проверим наименование индукции магнитного поля в системе СИ

Тл× м А × м3 наимен. В = А м4 = Тл .

Подставим числовые данные и сделаем вычисления:

В1 = 4·3,14·10–7·1·2,00·108·0,25 (10·10–3)3 = 6,28·10–5 Тл, В2 = 4·3,14·10–7·1·2,00·108·0,25 (0,5)4 = 2,51·10–4 Тл.

Ответ: индукция внутри проводника равна 6,28·10–5 Тл, вне – 2,51·10–4 Тл.

ЗАДАЧИ

351. По цилиндрическому очень длинному проводнику радиусом R = 2,00 см течет ток I = 100 А. Найти индукцию магнитного поля В в точках, лежащих на расстоянии r1 = 1,00 см и r2 = 3,00 см от оси проводника.

352. Диаметр тороида без сердечника по средней линии D = 20,0 см. В сече- нии тороид имеет круг радиусом r = 5,00 см (см. рис. 31 приложения). По обмотке

88

тороида, содержащей N витков, течёт ток I. Определить отношение значения ин-

дукции магнитного поля В0 на средней линии тороида к значению минимальной индукции магнитного поля Bmin внутри тороида.

353. Внутри длинного металлического проводника круглого сечения имеется круглая длинная цилиндрическая полость. Ось полости параллельна оси провод- ника и смещена относительно последней на расстояние d = 5,00 см. Радиус сече- ния проводника R = 20,0 см и по нему протекает ток I. На каком расстоянии r от оси проводника вне его находятся точки, индукция магнитного поля В в которых такая же, как в полости?

354. Имеется очень длинный прямой соленоид. Площадь его поперечного се- чения S = 2,00 см2, число витков на единицу длины n = 3 103 м–1. По обмотке со- леноида протекает ток I = 3,00 А. Найти поток вектора индукции магнитного поля Ф через торец соленоида.

355. По соленоиду длиной l = 1,00 м без сердечника, имеющему N = 1000 витков, течет ток силой I = 20,0 А. Определить циркуляцию вектора магнитной

индукции !ò Вdl вдоль контуров, изображенных на рис. 29 приложения.

356. Найти циркуляцию вектора индукции магнитного поля !ò Вdl в трех

случаях, изображенных на рис. 30 приложения. Сила тока, протекающего в про- водниках I = 8,00А.

357. Коаксиальный кабель представляет собой длинную металлическую тон- костенную трубку радиусом R = 10,0 мм. Вдоль оси трубки расположен тонкий провод. Силы токов в трубке и проводе I = 0,50 А, а их направления противопо- ложны. Определить индукцию магнитного поля В в точках, удалённых от оси ка- беля на расстояния r1 = 5,00 мм и r2 = 15,0 мм.

358. Диаметр тороида без сердечника по средней линии D = 30,0 см. В сече- нии тороид имеет круг радиусом r = 5,00 см (см. рис. 31 приложения). По обмотке тороида, содержащей N = 2000 витков, течёт ток I = 5,00 А. Определить макси- мальное Bmax и минимальное Bmin значение индукции магнитного поля в тороиде.

359. По проводнику протекает равномерно распределенный по его сечению ток I = 100 А. Радиус сечения проводника R = 10 мм. Найти циркуляцию вектора

индукции магнитного поля !ò Вdl вдоль окружности радиусом r = 5,00 мм, про- ходящей внутри проводника и ориентированной так, что ее плоскость составляет угол α = 300 с вектором плотности тока j .

360. Длинный прямой соленоид из проволоки, диаметр которой d = 0,50 мм, намотан так, что его витки плотно прилегают друг к другу. Какова индукция маг- нитного поля В внутри и снаружи соленоида, если по нему течёт ток I = 1,00 А?

89

Рабочая программа Тема 25. Явление и закон электромагнитной индукции

Пример решения задач

Прямой бесконечный проводник с током и прямоугольная рамка расположены в одной плоскости. Сила тока в проводнике изменяется по закону I = α t3, где α = 2,00 А/с3. Ближняя сторона рамки l = 1,00 м параллельна проводнику и отстоит от него на расстоянии r0 = 2,00 см. Длина другой стороны рамки b = 20,0 см. Оп- ределить силу тока в рамке в момент времени t = 10,0 с, если её омическое со- противление R =7,00 Ом.

то есть, ЭДС электромагнитной индукции в контуре численно равна и противопо- ложна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, огра- ниченную этим контуром. Знак минус выражает правило Ленца: индукционный ток в контуре Ii. имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукцион- ный ток. Силу индукционного тока можно найти из закона Ома

Рамка находится в неоднородном магнитном поле, поэтому для расчета маг- нитного потока разделим площадь рамки на столь узкие полоски, чтобы в преде- лах каждой из них магнитное поле можно было считать однородным (см. рису- нок). Элементарный магнитный поток сквозь узкую полоску

dФ = B dS cos(B ^ dS) ,

r

где dS = dSn – вектор, модуль которого равен элементарной площадке dS, а на- правление совпадает с направлением нормали n к ней.

Индукции магнитного поля В, создаваемого бесконечно длинным проводом с током там, где находится элемент площади рамки, рассчитывается по формуле

B = 2μπ0Ix ,

90