ZO-2008

Пример решения задач

Тело брошено вниз с начальной скоростью υ0 = 10,0 м/с. Считая силу сопротив- ления воздуха равной Fc = kυ , определить высоту h, с которой тело было бро-

шено. Масса тела m = 5,00 кг, время его падения до земли τ = 20,0 с, коэффици- ент сопротивления k = 2,00 кг/с.

Анализ и решение

На движущееся тело действуют сила сопротивления воздуха Fc и сила тяже- сти m g . Сила сопротивления переменная, следовательно, тело движется с пере-

менным ускорением. Поэтому высота, с которой было брошено тело, может быть

найдена из определения его мгновенной скорости

Запишем уравнение движения тела в соответствии со II законом Ньютона в векторной форме.

В полученном дифференциальном уравнении разделим переменные. Выполним интегрирование, учитывая, что при изменении времени от 0 до t, скорость возрас-

Из этого уравнения выразим мгновенную скорость

11

Заменим физические величины их числовыми значениями и произведём вычисле-

ния

Ответ: тело падает с высоты h = 462,5 м.

ЗАДАЧИ

111. Катер массой m = 2,00 т с двигателем мощностью N = 50,0 кВт развивает максимальную скорость υmax = 90,0 км/ч. Определить время τ , в течение которо-

го катер после выключения двигателя потерял половину скорости. Считать, что сила сопротивления движению Fсопр = kυ 2.

112. На тело массой m = 80,0 кг действует сила F = kt. Найти путь S, прой- денный телом за τ = 10,0 с при условии, что в начальный момент времени t0 оно имело скорость υ 0 = 5,00 км/ч. Коэффициент сопротивления k = 280 H/c.

113. Парашютист, масса которого m = 80,0 кг, совершает затяжной прыжок. Считая, что сила сопротивления воздуха Fсопр = kυ , определить, через какой про- межуток времени t скорость движения парашютиста будет равна 0,9 от скоро- сти υ уст установившегося движения. Коэффициент сопротивления k = 10 кг/с. Начальная скорость парашютиста υ 0 = 0.

114. Снаряд массой т = 10,0 кг выпущен из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью υ 0 = 800 м/с. Считая силу сопротивления воздуха Fсопр = kυ , определить время подъема τ снаряда до высшей точки. Коэффициент сопротив- ления k = 0,25 кг/с.

12

115. С вертолета, неподвижно висящего над Землей, сброшен груз масса m которого 100 кг. Считая, силу сопротивления воздуха Fсопр = kυ определить, че- рез какой промежуток времени t ускорение а груза будет равно половине уско- рения свободного падения g. Коэффициент сопротивления k = 10,0 кг/с.

116. Моторная лодка массой m = 400 кг начинает двигаться по озеру. Сила

тяги мотора Fтяги = 0,20 кН. Считая силу сопротивления Fсопр = kυ , определить скорость υ лодки через τ = 20,0 c после начала ее движения. Коэффициент со-

противления k = 20,0 кг/с.

117. Катер массой m = 2,00 т трогается с места и в течении τ = 10,0 с разви-

вает по спокойной воде скорость υ = 4,00 м/с. Определить силу тяги мотора Fтяги, считая ее постоянной. Принять силу сопротивления Fсопр = kυ . Коэффициент со-

противления k = 100 кг/с.

118. Начальная скорость пули υ 0 = 800 м/с. При движении в воздухе за время τ = 0,80 с ее скорость уменьшилась до υ 1 = 200 м/с. Масса пули m = 10,0 г. Счи- тая силу сопротивления воздуха Fсопр = kυ 2, определить коэффициент сопротив- ления k. Силой тяжести пули пренебречь.

119. Тормозной двигатель, установленный на транспорте массой m = 0,50 т

развивает силу тяги F тяги = kti , где i – единичный орт оси Х. Коэффициент пропорциональности k = 280 н/с. Пренебрегая трением, определить, через сколько

времени τ от момента включения двигателя, транспорт остановится. Какой тор- мозной путь S он пройдет при этом? При включении двигателя скорость транс- порта υ 0 = 100 км/ч.

120. Моторная лодка двигалась по озеру со скоростью υ = 20,0 м/с. После выключения мотора лодка прошла путь S = 40,0 м и остановилась. Считая силу сопротивления движению F = kυ , определить коэффициент сопротивления k, если её масса m = 200 кг.

Рабочая программа Тема 3. Понятие энергии и работы. Механическая работа переменной

силы. Средняя и мгновенная мощность

Пример решения задач

Материальная точка массой m = 2,00 кг движется под действием некоторой

r

силы, в результате чего её скорость изменяется по закону υ = 2i + 4tj + 3t2k , где

i , j ,k – единичные орты координатных осей X, У, Z. Определить работу A дан-

ной силы за время τ = 1,00 с, среднюю мощность <N> за это время и мгновенную мощность N в конце первой секунды.

13

ij , ik , jk равны нулю, так как они взаимно перпендикулярны, а скалярные произ-

ведения векторов ii , jj , kk равны единице, так как они совпадают по направле- нию.

dA = m(16t + 18t3 )dt .

Интегрируем последнее выражение

òA dA = òτ m(16t + 18t3 )dt .

0 0

В результате получаем

A = m(16τ 2 + 18τ 4 ).

2 4

Проверим наименование работы в системе СИ

наимен. А=кг × м2 = Дж .

с2

Подставим в полученную формулу численные значения массы и времени и про-

ведем расчет

Величина, характеризующая скорость совершения работы называется мощ- ностью. Если за время t совершается работа А, то отношение

14

At = N

называется средней мощностью. Найдем её за время τ = 1,00 с. Численное значе- ние работы было получено ранее, следовательно

N = 125,00,0 = 25,0 Вт.

Мгновенную мощность можно определить как первую производную по вре-

мени от работы

N = dAdt ,

либо по формуле

r

N = ( F ×υ ),

где υ – мгновенная скорость материальной точки. Подставим в эту формулу вы- ражения для силы (3) и скорости, получим

N = (m × ( 4 j + 6τ k )× ( 2i + 4τ j + 3τ 2k )).

Произведем умножение и заметим, что скалярные произведения векторов ij , ik , jk равны нулю, так как вектора взаимно перпендикулярны, а скалярные произведения векторов ii , jj , kk равны единице, так они совпадают по направле- нию. Получим

N = m × (16τ + 18τ 3 ).

Проверим наименование мощности в системе СИ

наимен.N = кг × сДж× кг = Вт .

Подставим числовые значения массы и времени и произведем расчет

N = 2,00× (16×1,00 + 18×1,003 ) = 68,0 Вт.

Ответ: работа заданной силы А = 25,0 Дж, средняя мощность – N = 25,0 Вт, мгновенная мощность – N = 68,0 Вт.

ЗАДАЧИ

121. Цепочка массой m =0,80 кг, длиной l =1,50 м лежит на шероховатом сто- ле, одним концом свисая со стола. Если длина свешивающейся части l0 превышает 1/3 длины цепочки, то она начинает соскальзывать со стола. Какую работу Атр со- вершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола? При решении не использовать среднее значение силы трения.

122. Материальная точка массой m = 1,00 кг двигается под действием неко- торой силы F согласно уравнению S = 3t + 5t2 (м). Определить работу А силы и среднюю мощность <N> за время τ = 1,00 с, мгновенную мощность N в момент времени τ = 1,00 c.

15

123. Какую наименьшую работу Аmin нужно совершить, чтобы намотать на тонкий стержень, висящий горизонтально над окном, штору длиной l = 2,50 м и массой m = 1,00 кг. Трением пренебречь. При решении не использовать среднее значение внешней силы.

124. Ветер, дующий со скоростью, υ 0 = 15 м/с, действует на парус площадью S с силой F = а×S× ρ (υ0 −υ )2/2, где а – некоторая постоянная, ρ – плотность воз-

духа, υ – скорость лодки. Определить скорость лодки υ , в момент времени, когда мощность ветра максимальна.

125. Локомотив массой m = 130 103 кг начинает двигаться со станции так, что его скорость изменяется по закону υ = В S , где В = 0,30 м1/2c–1, S − пройденный путь. Найти суммарную работу А всех сил, действующих на локомотив за время τ = 10 с после начала движения.

126. На моторную лодку, движущуюся на север, действует сила давления ветра F0 = 500 Н. Направление ветра меняется по закону α = ВS, где α − угол между направлением силы F0 и перемещением S, В = 0,10 рад/м. Найти работу А силы давления ветра, если его направление изменилось с южного на восточное.

127. Веревка длиной l = 2,00 м и массой m = 1,00 кг свешивается со стола. Коэффициент трения между веревкой и поверхностью стола μ . В некоторый мо- мент времени веревка начинает соскальзывать со стола. Какая работа А соверша- ется против силы трения при соскальзывании всей веревки? При решении не ис- пользовать среднее значение силы трения.

128. Материальная точка массой m = 0,10 кг начинает двигаться под действи- ем силы F = (2t i – 3t2 j ), где i и j – единичные орты координатных осей Х и У. Найти мощность N, развиваемую силой в момент времени τ = 2,00 с.

129. Отвес удерживают вертикально в вагоне, движущемся по горизонталь- ному пути с постоянным ускорением а = 10,0 м/с2, а затем сразу отпускают. Найти работу А силы, отклонившей отвес на угол α = 30o от вертикали, если масса отве- са m = 2,00 кг, а его длина l = 1,00 м. Использовать неинерциальную систему от- счета, связанную с вагоном.

130. Тангенциальное ускорение материальной точки, движущейся по криво- линейной траектории, изменяется по закону аτ = АS, где А = 5,00 1/с2, S – прой-

денный путь. Масса точки равна m = 5,00 кг. Чему равна работа А сил, действую- щих на материальную точку на участке траектории S = 5,00 м?

Рабочая программа Тема 4. Механическая система материальных точек. Внешние и внут-

ренние силы. Замкнутая система тел. Закон сохранения импульса в механике. Кинетическая и потенциальная энергии. Консервативные силы и систе-

16

мы. Закон сохранения механической энергии. Абсолютно упругий и неупругий удары

Пример решения задач

Два неупругих шара массами m1 = 2,00 кг и m2 = 3,00 кг движутся со скоростями

U =?

Анализ и решение

Система, состоящая из Земли, опоры и двух шаров является замкнутой, но неконсервативной, так как при ударе действуют неконсервативные силы – силы упругой деформации. Следовательно, полная механическая энергия системы не сохраняется, её убыль пошла на увеличение внутренней энергии шаров

альная и кинетическая энергии шаров.

Оценим значение энергии шаров до и после соударения. Для этого за нулевой

уровень потенциальной энергии (W п = 0) примем линию, на которой находятся центры масс шаров.

До удара система шаров обладала механической энергией равной сумме ки-

нетических энергий каждого шара

где υ – скорость шаров после столкновения. Найдем эту скорость. Для этого рас- смотрим внешние силы, действующие на шары. Сила тяжести mg компенсирует-

ся силой реакции опоры N , сила трения качения Fтр мала по сравнению с внут-

ренними силами взаимодействия шаров. Таким образом, сумма всех внешних сил равна нулю, и наша система ведет себя как замкнутая. Для таких систем выполня-

ется закон сохранения импульса

m1υ1 + m2υ2 = ( m1 + m2 )υ .

17

В проекции на ось Х

m1υ1 − m2υ2 = ( m1 + m2 )υ .

Откуда

Приведём к общему знаменателю и сделаем преобразования

= m2υ 2 + m m υ + m m υ 2 + m2υ 2 - m2υ 2 + 2m m υ υ - m2υ 2

U 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 .

2( m1 + m2 )

После приведения подобных величин получаем

U = m1m2 (υ1 +υ2 )2 .

2( m1 + m2 )

Проверим наименование энергии в системе СИ

ЗАДАЧИ

131. В деревянный шар массой M = 8,00 кг, подвешенный на нити l = 1,80 м, попадает горизонтально летящая пуля массой m = 4,00 г. С какой скоростью υ летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от верти- кали на угол α = 3°? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым и центральным.

132. На клин массой М = 5,00 кг, стоящий на горизонтальном полу, с высоты h = 3,00 м падает шар массой m = 0,5 кг и отскакивает в горизонтальном направ-

лении. Считая удар шара о клин абсолютно упругим, найти скорость υ клина по- сле удара. Трением клина о пол пренебречь.

133. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой M = 300 кг, ударяет молот массой m = 8,00 кг. Определить коэффициент полезно-

18

го действия η удара, если он неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на деформацию куска железа.

134. Человек массой M = 70,0 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизон- тальном направлении камень массой m = 3,00 кг со скоростью υ к = 8,00 м/с. Най- ти, на какое расстояние S откатится при этом человек, если известно, что коэффи- циент трения коньков о лед μ = 0,02.

135. Два груза массами m1 = 10,0 кг и m2 = 15,0 кг подвешены на нитях дли- ной l = 2,00 м так, что соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол α = 600 и отпущен. На какую высоту h поднимутся оба груза после неуп- ругого соударения?

136. Горизонтально летящая пуля массой m = 10,0 г попадает в деревянный куб, лежащий на полу, и пробивает его. Определить, какая часть энергии пули W перешла в тепло, если ее начальная скорость υ0 = 800 м/с, скорость после

вылета из куба υ * = 100 м/с, масса куба М = 4,00 кг. Траектория пули проходит через центр куба, трение между кубом и полом не учитывать.

137. Груз массой m1 = 300 г прикреплен к нерастянутой пружине и лежит на гладкой поверхности. Второй конец пружины, жесткость которой k = 20,0 Н/м, закреплен к неподвижному упору. Груз m2 = 100 г начинает съезжать с горки вы- сотой h = 10,0 см и налетает на груз m1, сжимая пружину. Найдите максимальное смещение х первого груза после абсолютно неупругого удара.

138. Горизонтально летящая пуля массой m = 9,00 г попадает в покоящийся клин массой М = 2,00 кг и после абсолютно упругого удара отскакивает верти- кально вверх. На какую высоту h поднимется пуля, если клин после удара стал двигаться со скоростью υ * = 0,20 м/с? Трением пренебречь.

139. Из орудия, не имеющего противооткатного устройства, производилась стрельба в горизонтальном направлении. Когда орудие было закреплено непод- вижно, снаряд вылетел со скоростью υ 1= 600 м/с, а когда орудию дали возмож- ность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью υ 2= 580 м/с. С какой скоростью υ * откатилось при этом орудие?

140. Два шара массами m1 = 3,00 кг и m2 = 2,00 кг подвешены на нитях дли- ной l = 1,00 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем больший шар отклонили от положения равновесия на угол α = 30о и отпустили. Считая

удар абсолютно упругим, определить скорость второго шара υ2 после удара.

Рабочая программа Тема 5. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения и его

вычисление с помощью принципа суперпозиции и теоремы Штейнера.

19

Пример решения задач

Определить момент инерции J физического маятника, который представляет собой стержень, соединенный с диском. Длина стержня l = 1,00 м, радиус диска R = 10,0 см. Массы стержня и диска соответственно m1 = 100 г, m2 = 500 г. Го- ризонтальная ось Z проходит через верхний конец стержня.

Анализ и решение

Момент инерции является мерой инертности тела при его вращательном движении. Он играет такую же роль, что и масса при описании поступательного движения тела. Но, в отличие от нее, не является постоянным, а зависит от поло- жения оси вращения.

Как видно из рисунка, момент инерции физического маятника определяется

где dm – элемент массы тела, а r – расстояние от этого элемента до оси вращения Z. Считаем, что масса стержня по его длине и масса диска по его площади рас- пределяются равномерно. Тогда

где τ – линейная, σ – поверхностная плотности массы, dl, dS – элементы длины стержня и площади диска.

Так как изменение длины стержня совпадает с изменением расстояния до оси вращения, то dl = dr. Подставим значение элемента массы стержня в формулу (2)

20