ZO-2008
.pdf
Примеры решения задач
1. Дифракция наблюдается на расстоянии l от точечного источника монохро- матического света (λ = 0,50 мкм). Посередине между источником света и экра- ном находится непрозрачный диск диаметром D = 5,00 мм. Определить рас- стояние l, если диск закрывает только центральную зону Френеля.
Дано
λ = 0,50 мкм
D =5,00 мм m = 1
a = b = l/2
l = ?
вого фронта (геометрическое место точек, до которых доходят колебания к мо- менту времени t) выделенные таким образом, что расстояния от соответствующих точек двух соседних зон до точки, в которой определяется действие этой волно- вой поверхности, отличаются наλ /2.
|
А |
b + m |
λ |
Э |
а |
|
|||
rm |
2 |
|
||
S |
В х |
b |
|
|
☼ |
|
|
||
|
|
|
|
M
С
На рисунке S – точечный источник света, АС – диск, Э – экран, rm – радиус m-ой зоны Френеля, b – расстояние от волнового фронта до точки наблюдения М, а – расстояние от источника света до диска. Волновой фронт источника изобра- жен пунктирной линией.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABS и выразим из него радиус m –
ной зоны Френеля rm2
rm2 = a2 - (a - x)2 = a2 - a2 + 2ax - x2 .
Так как x << a , то величиной x2 можно пренебречь тогда
|
|
r |
2 = 2ax . |
(1) |
|
|
|
m |
|
|
|
Рассмотрим треугольник ABM и найдем из него r2 |
|
||||
|
|
|
λ ö2 |
m |
|
r2 |
= |
æ b + m |
- (b + x)2 |
или |
|
m |
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
è |
2 ø |
|
|
rm2 = b2 + mbλ + æç mλ ö÷2 - b2 - 2bx - x2 .
è 2 ø
111
æ mλ ö |
2 |
x2 можно пренебречь, так как b >> λ , и x << b . Тогда |
|
|||||||||||
Величинами ç |
|
÷ |
и |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||
è |
2 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 = mbλ - 2bx . |
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||
По условию задачи r |
= |
Dm |
, |
a = b = |
l |
. Учитывая это, запишем уравнения (1) и |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
m |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
(2) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
D2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
= 2 |
|
x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
Dm2 = m l λ - 2 l x = m l λ - Dm2 .
4 2 2 2 4
Решаем последнее уравнение относительно l, получаем
D2 l = m λm .
Подставим числовые значения данных в задаче величин и произведём вычисления l = 1(5,00 ×10-3 )2 / 5,00×10-7 = 50,0 м.
Ответ: расстояние между источником и точкой наблюдения на экране 50,0 м.
2. Частично поляризованный свет проходит через николь. При его повороте на угол 600 от положения, соответствующего максимальному пропусканию света, интенсивность прошедшего света уменьшается в 2 раза. Пренебрегая поглоще- нием света в николе, определить: а) отношение интенсивностей естественного и плоскополяризованного света; б) степень поляризации падающего света.
Дано |
Анализ и решение |
α = 600 |
Свет представляет собой суммарное электромагнитное излуче- |
k = 2 |
ние множества атомов. Световые волны, в которых направления ко- |
I e / I п = ? |
лебаний светового вектора E быстро и хаотически меняются, назы- |
P = ? |
вается естественным светом. Если колебания вектора E в световых |
волнах каким-то образом упорядочены, то свет будет поляризованным. Световые
волны, в которых колебания вектора E одного направления преобладают над ко- лебаниями других направлений, называется частично поляризованным светом.
Для преобразования естественного света в плоскополяризованный использу- ются поляризаторы, в частности призма Николя: двойная призма из исландского
шпата (см. рисунок). |
|
|
|
|
Естественный свет, падая на |
I е |
|||
грань призмы Николя, расщепляется, |
|
|
|
I п |
|
|
|||
вследствие двойного лучепрелом- |
|
|
|
|
ления на два пучка: обыкновенный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112
и необыкновенный. Оба пучка одинаковы по интенсивности и полностью поляри- зованы. Плоскость колебаний необыкновенного пучка лежит в плоскости черте- жа. Плоскость колебаний обыкновенного пучка перпендикулярна плоскости чер- тежа. Обыкновенный пучок света вследствие полного отражения от границы со- единения отбрасывается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный пучок проходит через призму без отклонения, уменьшая свою интенсивность вследствие поглощения.
Частично поляризованный свет можно рассматривать как смесь плоскополя- ризованного и естественного света. Николь всегда пропускает половину падаю- щего на него естественного света (превращая его в плоскополяризованный). Ин- тенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через николь, зависит,
согласно закону Малюса
I п = I0п cos2 α ,
от угла α между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью поляри- затора. Поэтому полная интенсивность частично поляризованного света, про-
шедшего через николь
I = 0,5Iе + I п cos2 α ,
где I e и I п – интенсивности естественной и поляризованной составляющих све- та, падающего на николь.
При первом положении николя, соответствующем максимальному пропуска- нию света, через николь проходит свет, интенсивность которого составляет поло-
вину интенсивности естественного света и весь ранее поляризованный свет I п .
I1 = 0,5I е + I п .
При втором положении николя прошедший свет имеет интенсивность:
I2 = 0,5I е + I п cos2 600 = 0,5I е + 0,25I п .
По условию задачи I1 = 2I2, тогда
0,5I е + I п = 2( 0,5I е + 0,25I п ),
откуда I e = I п .
Следовательно, отношение интенсивностей естественного и плоскопарал-
лельного света равно единице
Iе
I п = 1.
Степень поляризации определяется отношением интенсивности поляризо- ванного света к общей интенсивности света или отношением:
р= Imax − Imin , Imax + Imin
где Imax и Imin – максимальная и минимальна интенсивности в двух взаимно пер- пендикулярных направлениях.
Максимальная интенсивность света, пропускаемая николем,
113
Imax = I1 = 0,5I е + I п = 1,5I п .
При этом положении плоскости поляризации николя и падающего света па- раллельны. При повороте николя на 900 свет, ранее поляризованный, не пройдет, а на экран будет падать свет с минимальной интенсивностью:
Imin = 0,5I е = 0,5I п .
Подставляем значения максимальной и минимальной интенсивностей в фор- мулу степени поляризации, получаем:
р = |
1,5I п − 0,5I п |
= 0,5 . |
|
1,5I п + 0,5I п |
|||
|
|
Ответ: отношение интенсивностей естественного и поляризованного света равно единице, степень поляризации падающего света равно 0,5.
ЗАДАЧИ
441. Световые волны падают из воздуха в жидкость, налитую в стеклянный сосуд (nст = 1,50). Отраженный от дна сосуда свет, будет полностью поляризован,
если его угол падения α Брюс = 410 (см. рис. 45 приложения). Определить: 1) пока- затель преломления жидкости nж; 2) угол падения света α пред на дно сосуда, при
котором наблюдалось бы его полное отражение.
442. На николь падает пучок частично-поляризованного света. При некото- ром положении николя, интенсивность света I, прошедшего через него, стала ми- нимальной. Когда плоскость пропускания николя повернули на угол α = 450, ин- тенсивность I света возросла в k = 1,5 раза. Найти степень поляризации Р света.
443. На непрозрачную преграду c отверстием радиуса R = 1,00 мм падает плоская монохроматическая световая волна. При расстоянии от преграды до уста- новленного за ней экрана b1 = 0,58 м, в центре дифракционной картины наблюда- ется максимум интенсивности. При увеличении расстояния до b2 = 0,86 м, макси- мум интенсивности сменяется минимумом. Найти длину λ световой волны.
444. Плоская монохроматическая световая волна падает на длинную прямо- угольную щель шириной а = 12,0 мкм под углом α = 300 к ее нормали. Опреде- лить длину световой волны λ, если первый дифракционный минимум наблюдает- ся под углом ϕ max = 330.
445. Дифракционная решетка состоит из ряда непрозрачных штрихов шири- ной b = 2,5·10–3 мм, разделенных прозрачными участками такой же ширины. Ка- кую толщину h должна иметь плоскопараллельная стеклянная (n =1,50) пластин- ка, чтобы в ней максимум третьего порядка для длины световой волны λ = 600 нм наблюдался под тем же углом, что и у дифракционной решетки?
446. Предельный угол полного внутреннего отражения света на границе жид- кости с воздухом i1кр = 43о. Орпделить угол Брюстара iВ при падении луча света из воздуха на поверхность этой жидкости.
114
447. На пути частично-поляризованного света, степень поляризации которого P = 0,60, поставили анализатор так, что интенсивность I света, прошедшего через него, стала максимальной. Во сколько раз уменьшится интенсивность I света, ес- ли плоскость пропускания анализатора повернуть на угол α = 300?
448. Между точечным источником световых волн (λ = 0,50 мкм) и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием радиуса R = 1,00 мм. Расстояние от источника до диафрагмы а = 1,00 м, от диафрагмы до экрана b = 2,00 м. Как изме- нится освещенность экрана в точке, лежащей против центра отверстия, если диа- фрагму убрать?
449. На щель падает нормально параллельный пучок монохроматического света. Расположенная за щелью линза с фокусным расстоянием F = 2,00 м про- ецирует на экран дифракционную картину в виде светлых и темных полос (см. рис. 44 приложения). Ширина центральной светлой полосы l = 5,00 см. Как надо изменить ширину щели, чтобы центральная полоса занимала весь экран при лю- бой его ширине?
450. Применяя формулу разрешающей способности дифракционной решетки, найти, какое наименьшее число штрихов Nmin она должна иметь, чтобы можно было различать две желтые линии натрия (λ1 = 589,0 нм и λ2 = 589,6 нм) в спектре первого порядка? Период решетки d = 2,90 мкм. Какая длина L будет у такой ре- шетки?
Рабочая программа Тема 33. Квантовая оптика. Характеристики теплового излучения. За-
коны теплового излучения (Кирхгофа, Стефана-Больцмана, Вина). Давление света, Фотоны
Пример решения задач
1. Определить установившуюся температуру тонкой пластинки, расположенной вблизи Земли за пределами её атмосферы перпендикулярно лучам Солнца. Интен- сивность солнечной радиации в месте нахождения пластинки I =1,80 кВт/м2. Рассмотреть два случая: 1)пластинка – абсолютно черное тело; 2) серое тело.
Дано |
Анализ и решение |
|
I =1,80 кВт/м2 |
1. Независимо от свойств пластинки её температура |
|
σ = 5,67×10–8 Вт/м2К4 |
установится тогда, когда поток излучения Ф1, испускае- |
|
Т1, Т2 – ? |
мый нагретой пластинкой, станет равным потоку Ф2, пог- |
|
лощаемому пластинкой |
(поток энергии, излучаемый Солнцем) |
|
|
Ф1 = Ф2 . |
(1) |
Потоком излучения Ф называется величина, определяемая отношением энергии W, переносимой излучением, к времени переноса t, измеряется в Ваттах.
115
Если пластинка обладает свойствами абсолютно черного тела (тело, способ-
ное поглощать при любой температуре все падающее на него излучение любой частоты), то она поглощает весь падающий на неё поток излучения. Поэтому
Ф2 = IS , (2)
здесь S – площадь поверхности пластинки, обращенной к Солнцу, I – интенсив- ность излучения (плотность потока излучения) – количество энергии, переноси- мой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направ- лению распространения излучения.
Поток излучения пластинки Ф1 найдем по закону Стефана-Больцмана со-
гласно которому, энергетическая светимость (интегральная излучательная спо-
собность) абсолютно черного тела R пропорциональна четвертой степени абсо- лютной температуры Т.
R = σT 4 ,
здесь σ – постоянная Стефана-Больцмана.
Энергетическая светимость измеряется потоком излучения, испускаемым
единицей площади светящейся поверхности |
|
||||||||||
R = |
Ф |
= |
|
|
1 |
|
dW |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
S |
|
|
S dt |
|
||||||
Учитывая, что излучают обе стороны пластинки, имеем |
|
||||||||||
Ф = σT 4 2S . |
(3) |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (1), (2) и (3) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
IS = σT 4 2S , |
(4) |
||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T = 4 |
|
|
I |
. |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2σ |
|
|||||
2. Не являясь черным телом, пластинка будет поглощать и излучать меньше |
|||||||||||
энергии, чем в первом случае. Поэтому теперь вместо (4) запишем |
|
||||||||||
aпогл IS = aизлσT 4 2S , |
(5) |
||||||||||
T |
T |
|
|||||||||
где aTпогл –коэффициент поглощения, показывающий, какая часть энергии, излу- ченной абсолютно черным телом и падающей на поверхность данного тела, им поглощается; aTизл – коэффициент излучения, показывающий, какую часть со-
ставляет энергетическая светимость данного тела от энергетической светимости абсолютно черного тела, взятого при той же температуре. Как показывает теория,
для серого тела
aTпогл = aTизл .
Значит, согласно уравнению (5), температуры серой и черной пластинок одинако- вы.
Проверим наименование температуры в системе СИ
116
наимен.Т = 4 |
Вт × м2 |
К4 |
|||||
|
|
= К . |
|||||
|
|
||||||
Проведем расчет |
|
|
|
|
м2Вт |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T = T = 4 |
1,80×103 |
= 355 К. |
|||||
|
|
|
|||||
1 |
2 |
|
2 |
× 5,6710−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: температура тонкой пластинки, расположенной вблизи Земли за предела- ми её атмосферы, нагретой солнечным излучением 355 К.
2. Лампа мощностью Р = 600 Вт излучает свет(< λ > = 550 нм) равномерно по всем направлениям. Определить силу давления F на плоское круглое зеркало пло- щадью S = 10,0 см2, расположенное на расстоянии r = 50,0 см перпендикулярно к падающим лучам, и концентрацию n фотонов около зеркала.
Дано |
Анализ и решение |
||||
Р = 600 Вт |
Давление света на поверхность равно импульсу, который |
||||
S = 10,0 см2 |
передают поверхности в одну секунду N фотонов: |
||||
r = 50,0 см |
|
hν |
|
E |
|
ρ = 1 |
p = (1 + ρ ) |
|
N = |
|
(1 + ρ ) = ω(1 + ρ ), |
c |
c |
||||
< λ > = 550 нм |
здесь ρ – коэффициент отражения света от поверхности E – |
||||
h= 6,63·10–34Дж с |
энергетическая освещенность – энергия всех фотонов, па- |
||||
F = ? |
дающих на один квадратный метр в секунду), ω = Е/c – объ- |
||||
n = ? |
ёмная плотность энергии излучения, h – постоянная Планка, |
||||
ν – частота колебаний.
Энергетическая освещенность характеризует величину потока излучения, па-
дающего на единичную площадь освещенной поверхности
E = |
Ф |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В свою очередь, поток излучения определяется отношением энергии перено- |
||||||||||||||
симой излучением, к времени переноса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ф = |
dW |
= |
W |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dt |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||
Сила давления света |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F = pS = |
ES |
(1 + ρ ) . |
|
|
|
|
||||||||
c |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Энергетическая освещенность зеркала такая же, как и поверхности сферы с |
||||||||||||||
радиусом, равным расстоянию от лампы до зеркала |
|
|
|
|
||||||||||
(см. рисунок) |
|
|
Ф |
|
|
S |
F |
|||||||
E = Eсф = |
|
|
|
. |
☼ |
|||||||||
|
|
|
r |
|
||||||||||
|
4π r2 |
|
|
|||||||||||
Тогда сила давления |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cdt |
||||||
117 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
F = |
|
ФS |
(1 + ρ ). |
|
|
|
||||||||
|
|
4π r2c |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Проверим наименование силы в системе СИ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
наимен. F = |
Вт × м2 × с |
|
= |
Дж × с |
|
= |
Н × м |
= Н . |
||||||||
м2 |
× м |
с× м |
м |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Подставим данные в задаче величины и сделаем расчет |
|
|||||||||||||||
F = |
|
600 ×10 ×10−4 × 2 |
|
|
= 1,27 ×10−9 Н. |
|||||||||||
|
× 3,14 × ( 50 ×10 |
−2 2 |
|
10 |
8 |
|||||||||||
4 |
) 3 × |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Концентрацию фотонов около зеркала можно найти как отношение числа фотонов в некотором объёме к величине этого объёма. Объём представим в виде цилиндра длиной cdt, где с – скорость света, и основанием S (см. рисунок). В этом элементарном объёме находится dN фотонов. Тогда их концентрация
|
|
|
|
|
n = |
dN |
|
|
= |
dN |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
S × cdt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sc |
|
|
|
|
|
|
|
dN |
|
|
|||||||||||||
Число фотонов, падающих за одну секунду на поверхность |
|
можно пред- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ставить как отношение энергии падающих фотонов к энергии одного фотона |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dN |
= |
dW |
|
1 |
|
= |
Фпад |
= |
|
ES |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Тогда |
|
|
dt |
ε |
|
|
dt |
|
|
|
|
hν |
|
|
|
|
|
hν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ES |
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
Ф < λ > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
n = |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
hν Sc |
Scфhν с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4π r2hс2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Проверим наименование концентрации фотонов в системе СИ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
наимен. n = |
|
|
|
Вт × м× с2 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
м2 × Дж × с× м2 |
|
м3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Проведем расчет искомой величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n = |
|
600 × 550 ×10−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1,76 ×1012 ( |
|
1 |
). |
|
|||||||||||||||||||||
|
× 0,5 |
2 |
× 6,63 ×10 |
−34 |
|
|
|
|
16 |
м |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
4× 3,14 |
|
|
|
|
|
× 9×10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: концентрация фотонов вблизи зеркала 1, 76·1012 м–3.
ЗАДАЧИ
451. На зеркальную поверхность падает под углом α = 600 к нормали пучок монохроматического света (λ = 590 нм). Плотность потока энергии светового пучка ϕ = Ф/S =1,00 кВт/м2. Определить давление р света на поверхность.
452. Вольфрамовая нить накаливается в вакууме током I1 =1,00 А до темпе- ратуры Т1 = 1000 К. При каком токе I2 нить накалится до Т2 = 3000 К? Соответст-
вующие температурам коэффициенты излучения и удельные сопротивления
118
вольфрама равны соответственно α1 = 0,115, α2 = 0,334 и ρ 1 = 25,7·10–8 Ом·м,
ρ 2 = 96,2·10–8 Ом·м.
453. На расстоянии r = 5,00 м от точечного монохроматического излучателя света (λ = 0,50 мкм) расположена перпендикулярно падающим световым лучам площадка (S = 8,00 мм2). Мощность светового излучения Р = 100 Вт. Сколько фо- тонов N ежесекундно падает на эту площадку?
454. Нить накала лампы излучает как серое тело с коэффициентом поглоще- ния αТ = 0,30. Диаметр нити d = 0,03 мм, ее длина l = 15,0 см. Определить длину световой волны λ0, соответствующей максимуму энергии излучения лампы нака- ливания. Мощность потребляемая лампой Р =10,0 Вт. Считаем, что 20% потреб- ляемой энергии рассеивается в окружающее пространство.
455. Параллельный пучок монохроматического света (λ = 662 нм) падает нормально на зачерненную поверхность и производит на нее давление р = 0,30 мкПа. Определить концентрацию n фотонов в световом пучке и число n1 фотонов падающих на поверхность площадью S = 1,00 м2 за время t = 1,00 с.
456. Определить установившуюся температуру тонкой зачерненной пластин- ки (ρ = 0), расположенной перпендикулярно лучам Солнца вблизи Земли за пре- делами ее атмосферы. Интенсивность солнечной радиации (поверхностная плот- ность потока излучения) I = 1,77 103 Вт/м2.
457. Световая волна (λ = 600 нм) падает нормально на зеркальную поверх- ность и производит на нее давление р = 4,00 мкПа. Определить число N фотонов, падающих за время t = 10,0 с на площадь S = 1,00 мм2 этой поверхности.
458. Электрическая печь потребляет мощность Р = 1,00 кВт. Температура ее внутренней поверхности Т при открытом отверстии площадью S = 25,0 см2 равна 1,20 кК. Считая, что отверстие печи излучает как абсолютно чёрное тело, опреде- лить, какая часть α потребляемой мощности рассеивается ее стенками.
459. Свет от точечного излучателя падает нормально на зеркальную поверх- ность. Расстояние от излучателя до поверхности r = 10,0 см. При какой мощности Р излучения давление света на зеркальную поверхность будет р = 1,00 мПа?
460. В спектре Солнца максимум спектральной плотности энергетической светимости приходится на длину волны λ0 = 0,47 мкм. Приняв, что Солнце излу- чает как абсолютно черное тело, найти интенсивность I солнечной радиации (т.е. плотность потока энергии излучения) вблизи Земли за пределами ее атмосферы.
Рабочая программа Тема 34. Энергия и импульс фотона. Эффект Комптона. Комптоновская
длина волны
Пример решения задач
119
Фотон с энергией ε = 0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом θ = 600. Принимая, что кинетическая энергия Wк и импульс p электрона до со-
ударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить: 1) энергию ε рас- сеянного фотона; 2) кинетическую энергию Wк электрона отдачи; 3) направле- ние его движения.
Дано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Анализ и решение |
|
|||||||
ε = 0,75 МэВ |
|
1. Упругое рассеяние коротковолнового излучения (рент- |
|||||||||||||||||||
θ = 600 |
|
|
|
|
геновского и γ -излучения) на свободных (или слабосвязан- |
||||||||||||||||
h = 6,6310–34Дж с |
ных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением |
||||||||||||||||||||
W0 = 0,51 МэВ |
|
длины волны называется эффектом Комптона. Энергию рас- |
|||||||||||||||||||
ε = ? |
|
|
|
|
сеянного фотона ε |
можно найти, воспользовавшись форму- |
|||||||||||||||
Wк = ? |
|
|
|
|
лой описывающей этот эффект |
|
|
|
|||||||||||||
ϕ = ? |
|
|
|
|
|
|
|
Δλ = λ - λ = λк (1 - cosθ ), |
(1) |
||||||||||||
где λ и λ |
– длина волны падающего и рассеянного излучений; θ – угол рассея- |
||||||||||||||||||||
ния; λк = |
|
h |
|
= 2,43 пм – комптоновская длина волны, h – постоянная Планка, |
|||||||||||||||||
m0c |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m0 – масса электрона отдачи, с – скорость света в вакууме. |
|
||||||||||||||||||||
Выразим длины волн λ и λ через энергии ε |
и ε соответствующих фото- |
||||||||||||||||||||
нов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
hc |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ε = hν = h |
Þ λ = |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ε |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ε = hν = h |
|
c |
|
Þ λ = |
hc |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|||||||||||||
Подставим в уравнение (1), получим |
|
|
|
|
|
ε |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
hc |
- |
hc |
= |
|
|
h |
(1 - cosθ ) . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ε |
ε |
m c |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Разделим обе части этого равенства на hc:
11 (1 − cosθ )
ε- ε = m0c2 .
Отсюда, обозначив для краткости энергию покоя электрона m0c2 через W0, найдем
|
|
|
ε = |
|
|
|
|
ε |
. |
(1) |
|
|
|
|
|
ε |
(1 - cosθ ) |
||||
|
|
|
1 + |
|
|
|
||||
|
|
|
W0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставив числовые значения величин, проведем расчет |
|
|||||||||
ε = |
|
0,75 |
|
|
|
= 0,43 (МэВ)=6,88 ×10−14 |
Дж. |
|||
|
0,75 |
|
|
|
|
|||||
1 + |
(1 - cos60) |
|
|
|
||||||
|
|
0,51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
120