ZO-2008

вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по на- правлению с током, r – модуль радиуса-вектора r .

Как следует из (3), вектор dB1 перпендикулярен к плоскости, содержащей

векторы dl и r . Направление dB1 можно найти по правилу правого винта: если поступательное движение винта совпадает с направлением тока в элементе, то на- правление вращения головки винта укажет направление вектора dB1 .

Поскольку у нас проводник с током и точка А, в которой определяется B1,

лежат в одной плоскости, все элементарные векторы dB1 направлены вдоль одной прямой (см. рис. 1). Тогда выражение (1) можно переписать в скалярной форме.

где α – угол между векторами dl и r .

Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы в нем была одна пере- менная, например, угол α . Из прямоугольного треугольника ОАС можно выра- зить модуль радиуса-вектора

Для определения dl проведем дугу СД радиусом r с центром в точке А и найдем ее длину по формуле CД = r dα , где dα – центральный угол, лежащий напротив дуги. Так как участок провода с током CN = dl мал, то дугу можно заменить её хордой. Получившийся треугольник СДN можно считать прямоугольным и из не- го, с учетом (5), следует

А магнитного поля не создает.

71

Рассмотрим участок проводника 2. Выделим на нем элемент тока I dl . Век- тор dB2 , в соответствии с законом Био-Савара и правилом правого винта, в точке А будет перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен на нас (см. рисунок).

Подставим числовые значения физических величин и сделаем вычисления. Ответ: индукция магнитного поля в точке А равна 6,00·10–6 Тл.

ЗАДАЧИ

301. К тонкому проволочному кольцу радиусом r подводят ток I =10,0 А (см. рис. 16 приложения). Подводящие провода, делят кольцо на две части l1 = 5,00 см и l2 =15,0 см. Найти индукцию магнитного поля В0 в центре кольца.

302. По проводнику в виде равностороннего треугольника протекает ток си- лой I = 40,0 А. Длина стороны треугольника а = 30,0 см. Определить индукцию магнитного поля В0 в точке пересечения высот треугольника.

303. По тонкому проволочному кольцу радиусом R течёт ток I. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась индукция магнитного поля В0 в центре контура?

72

304. Тонкая лента ширина которой l = 40,0 см, свернута в трубку радиусом R = 30,0 см. По ленте течет равномерно распределенный по ее ширине ток силой I = 200 А (см. рис. 11 приложения). Применяя формулу для расчета индукции

магнитного поля на оси кругового проводника с током на расстоянии h от его центра и принцип суперпозиции, найти индукцию магнитного поля В0 на оси трубки в ее средней точке.

305. По проводнику в виде тонкого кольца радиусом R = 20,0 см протекает ток I = 100 А (см. рис. 12 приложения). Определить индукцию магнитного поля ВА этого тока в точке А, находящейся на оси кольца. Угол β = π/3.

306. Бесконечно длинный провод с током I = 50,0 А изогнут так, как это по- казано на рис. 13 приложения. Определить индукцию магнитного поля ВА этого тока в точке А, лежащей на биссектрисе прямого угла на расстоянии d = 10,0 см от его вершины.

307. По проводу, контур которого изображен на рис. 14 приложения, идет ток I = 10,0 А. Определить индукцию магнитного поля В0 этого тока в точке О, если угол α = 600, а радиус дуги R = 10,0 см.

308. Обмотка длинного прямого соленоида выполнена проводом с плотно прилегающими друг к другу витками. Диаметр провода d = 0,50 мм. Какова ин- дукция магнитного поля В внутри соленоида на его оси при силе тока I = 4,00 А? Воспользоваться формулой индукции магнитного поля на оси кругового провод- ника с током на расстоянии h от его центра и принципом суперпозиции.

309. Определить модуль вектора индукции магнитного поля В0, созданного током, текущим по системе проводников, в точке О (см. рис. 15 приложения). Си- ла тока I = 60,0 А, радиус кругового проводника R = 20,0 см, угол между плоско- стью кругового витка и прямолинейным полубесконечным проводником 900.

310. Проводник имеет форму правильного шестиугольника, сторона которо- го а = 10,0 см. По нему пропускают ток силой I = 25,0 А. Определить индукцию магнитного поля В0 в центре шестиугольника. Сравнить с индукцией магнитного поля в центре кругового провода с таким же током, если его длина равна длине окружности, описанной около данного шестиугольника.

Рабочая программа Тема 20. Сила, действующая на электрический заряд, движущийся в

магнитном поле (магнитная составляющая силы Лоренца)

Пример решения задач

Электрон влетает со скоростью υo = 1,00×107 м/с в плоский конденсатор парал-

лельно его пластинам, длина которых l = 5,00 см. Напряженность электроста- тического поля конденсатора Е = 10,0 кВ/м. При вылете из него электрон попа- дает в однородное магнитное поле, направленное вдоль вектора υо . Индукция

73

этого магнитного поля B = 15,0 мТл. Определить траекторию электрона в маг- нитном поле.

R, h – ?

Анализ и решение

На электрон, обладающий зарядом е, во время его движения в электростати-

ческом поле конденсатора, действует постоянная сила F = eE , направленная вдоль силовых линий (то есть по вертикали). Так как заряд электрона отрицатель- ный, то направление этой силы противоположно направлению силовых линий, и

она сообщает электрону ускорение

r = F = eE a m m ,

направленное в ту же сторону. Поэтому, электрон имея начальную скорость υo ,

начнет двигаться по параболе с вершиной в точке А (см. рисунок). Выйдя из поля конденсатора, электрон снова будет двигаться прямолинейно под углом α к ско- рости υо . Скорость электрона при вылете из конденсатора υ может быть пред-

ставлена в виде суммы двух составляющих: горизонтальной υг = υо и вертикаль- ной υв (см. рисунок), равной

eE l

υв = аt = m υо .

При этом скорость υо направлена вдоль линий вектора B , а скорость υв перпен-

дикулярна им.

Когда электрон попадает в магнитное поле, на него действует магнитная со-

ставляющая силы Лоренца, равная F e é rBù , или в скалярной форме

м = ëυ û

r

Fм = еυВsin(υ ^ B) = еυвВ .

Если бы электрон обладал только скоростью υв , то под действием магнитной со- ставляющей силы Лоренца он двигался бы по окружности. Действительно, так как сила Fм нормальна к скорости υв , она изменяет лишь направление вектора ско-

рости, но не его модуль. Следовательно, она сохраняет свое численное значение, сообщая при этом электрону постоянное по модулю нормальное ускорение. Это значит, что электрон движется в магнитном поле по дуге окружности. Радиус этой

окружности можно найти из второго закона Ньютона

74

Так как у электрона есть еще и скорость υо , перпендикулярная плоскости этой

окружности, он будет двигаться по винтовой линии, характеризуемой радиусом R и шагом h. Шаг винтовой линии представляет собой то расстояние, на которое переместится электрон, двигаясь равномерно со скоростью υо за время, в течение

которого он совершит по окружности один оборот. Это время называется перио- дом Т. С учетом выражения для радиуса винтовой линии

T = 2π R = 2π m . υв eB

Следовательно, шаг винтовой линии

h = υоT = 2π mυо . eB

Проверим наименования радиуса R и шага h в системе CИ

Подставим значения величин, входящих в расчетные формулы и, выполнив вычисления, получим

R= 1,00 ×104 × 5,00×10−2 = 3,33 ×10−3 м, 1,00 ×107 ×15,0 ×10−3

h = 2π × 9,1×10−31 ×1,00 ×107 = 2,38 ×10−2 м. 1,6 ×10−19 ×15 ×10−3

Ответ: электрон движется по винтовой линии: R = 3,33·10–3 м, шаг h = 2,4·10–2м.

Рабочая программа Тема 21. Магнитное поле в вакууме. Сила, действующая на проводник с

током в магнитном поле (сила Ампера)

Пример решения задач

Проводящее кольцо поместили в однородное магнитное поле. По кольцу циркули- рует ток I = 40,0 А. Если проволока кольца выдерживает на разрыв нагрузку F = 15,0 Н, то при какой индукции магнитного поля В кольцо разорвется? Радиус кольца R = 20,0 см, его плоскость перпендикулярна линиям магнитной индукции.

75

Анализ и решение

На каждый элемент кольца dl, по которому течет ток, со стороны магнитного поля действует сила dFA (сила Ампера). Величина и направление этой силы оп-

ределяется по закону Ампера

Если ток в кольце течет против часовой стрелке, а вектор внешнего магнит- ного поля направлен на нас (см. рисунок), то силы dFA , действующие на все эле-

менты кольца, лежат в одной плоскости (в плоскости рисунка), направлены по ра- диусам кольца и стремятся растянуть его. В результате, внутри сечения кольца возникает упругая сила, препятствующая растяжению. Чтобы определить эту си- лу, надо из кольца вырезать элемент и приложить к разрезам силы со стороны ос- тальной части кольца. Так как кольцо находится в равновесии, то и выделенный элемент под действием всех сил, приложенных к нему, так же будет находиться в равновесии.

В качестве элемента удобно взять верхнюю половину кольца. К местам раз- реза приложим силы F1 упр и F2 упр , которые действуют со стороны нижней поло-

вины кольца. Так как верхняя половина кольца должна находится в равновесии,

то

здесь FA – сила Ампера, действующая на полукольцо с током со стороны внеш-

него магнитного поля. Если эта сила будет больше сил упругости, то кольцо с то- ком разорвется. Чтобы найти силу Ампера, необходимо сложить (проинтегриро-

вать) силы dFA , действующие на все элементы полукольца

FA = ò dFA .

( l )

Здесь индекс l означает, что интегрирование ведется по полукольцу. При этом следует учесть, что все слагаемые являются векторами и имеют различные на- правления.

Выразим вектор dFA через его проекции dFAх и dFAу на оси координат ОХ и ОУ (см. рисунок)

dFA = idFAх + jdFAу ,

где i и j – единичные векторы направлений (орты).

Как следует из рисунка,

dFAx = dFA sinϕ = IBdl sinϕ , dFAу = dFA cosϕ = IBdl cosϕ ,

Тогда

FA = i ò IB × dl sinϕ + j ò IBdl cosϕ .

(l ) (l )

При переходе от одного элемента dl к другому угол ϕ изменяется, то есть подынтегральные выражения содержат две переменные. Необходимо перейти к одной. Из рисунка видно, что dl = R dϕ , где R – радиус кольца. Тогда при интег-

Таким образом,

FA = j 2IBR .

77

Из этой формулы видно, что вектор силы Ампера, действующей на полукольцо, совпадает с положительным направлением оси ОУ, а его модуль равен

FA = 2IBR .

Спроецируем уравнение равновесия (3) на ось ОУ и с учетом того, что

F1упр = F2упр = F, запишем

FA – 2F = 0.

Если FA > 2F ,то проволочное кольцо разорвется, тогда

Ответ: кольцо разорвется, если индукция магнитного поля В > 1,87 Тл.

ЗАДАЧИ

321. По двум длинным тонким параллельным проводникам, вид которых по- казан на рис. 22 приложения, текут постоянные токи I1 = 5,00 А и I2 = 20,0 А. Оба проводника лежат в одной плоскости, расстояние между ними а = 5,00 см, ширина правого проводника b = 10,0 см. Найти силу магнитного взаимодействия между проводниками в расчете на единицу их длины.

322. Постоянный ток силой I = 5,00 А течет по длинному прямому проводни- ку, сечение которого имеет форму тонкого полукольца радиусом R = 100 мм. Та- кой же ток течет в противоположном направлении по тонкому проводнику, рас- положенному на «оси» первого проводника (см. рис. 23 приложения). Найти силу магнитного взаимодействия F данных проводников в расчете на единицу длины.

323. Тонкий проводник длиной l = 20,0 см изогнут в виде полукольца и по- мещен в магнитное поле (В = 10,0 мТл) так, что плоскость полукольца перпенди- кулярна линиям магнитной индукции. По проводнику пропустили ток I = 50,0 A. Определить магнитную силу F, действующую на проводник.

324. По очень длинному проводнику течет ток I1 = 100 А. Определить маг- нитную силу F, действующую на проводник длиной l = 0,10 м с током I2 = 50,0 А, расположенный в поле первого проводника так, как показано на рис. 17 приложе-

ния (d = l).

325. Из проволоки сделано полукольцо радиусом R = 10,0 см, по которому протекает ток силой I = 10,0 А. Полукольцо помещено в магнитное поле. Вектор индукции лежит в плоскости полукольца и перпендикулярен диаметру. Индукция В равна 50,0 мТл. Определить силу F, действующую на проволоку.

326. В магнитном поле очень длинного провода с током I1 = 200 А располо- жен согнутый под прямым углом проводник с током I2 = 30,0 А (см. рис. 18 при-

78

ложения). Определить магнитную силу F, действующую на этот проводник, если d = l = 0,20 м.

327. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длин- ным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи I = 200 А. Определить магнитные силы F, дейст- вующие на стороны рамки, если ее ближайшая к проводу сторона находится от него на расстоянии, равном ее длине.

328. Полубесконечный проводник, по которому течёт ток I = 10,0 А, согнут под прямым углом (см. рис. 20 приложения). Длина горизонтальной части про- водника l = 5,00 см. Найти магнитную силу F, действующую на конец горизон- тальной части проводника длиной l1 = 3,00 см.

329. По упругому проводящему кольцу, радиус которого R = 5,00 см, проте- кает ток I = 0,40 А. Кольцо помещено в однородное магнитное поле (В = 0,50 Тл) так, что линии магнитной индукции перпендикулярны его плоскости. Найти рас- тягивающее механическое напряжение σ в проводнике, если площадь его попе- речного сечения S = 3,00 мм2.

330. Электрический ток, величина которого I = 0,50 А, проходит по желобку с ртутью. Вблизи желоба проходит прямолинейный бесконечно длинный провод- ник. Расположение желобка с ртутью и прямого провода показано на рис. 21 при- ложения (вид сверху). АВ – желобок, ВС = АВ = 10,0 см. Определить, насколько уменьшится сила давления ртути на дно желобка, если по проводнику пропустить ток I1 = 1,00 А.

Рабочая программа Тема 22. Поток вектора индукции магнитного поля в вакууме через

замкнутую поверхность

Пример решения задач

Рамка, шириной а = 40,0 см и длиной b = 1,00 м, расположена в одной плоскости с прямым, бесконечно длинным проводом с током. Расстояние от провода до се- редины рамки l = 1,00 м. Вычислить относительную погрешность γ при расчете магнитного потока, пронизывающего рамку, считая поле в пределах рамки одно- родным, а магнитную индукцию B равной её значению в центре рамки.

79

В этой формуле Ф1 – магнитный поток, пронизывающий рамку при условии,

r

направление нормали к площадке dS, dS = dS n –

вектор, модуль которого равен элементарной площадке dS, а направление совпа- дает с направлением нормали n к ней. Магнитный поток может быть как положи-

тельным, так и отрицательным в зависимости от знака cos(B ^ dS).

Направление вектора B можно найти по правилу правого винта: если посту-

пательное движение винта совпадает с направлением тока в проводе, то на-

правление вращения головки винта укажет направление вектора B . Направление нормали n выбирается произвольно.

Рассчитаем магнитный поток Ф1 . По правилу правого винта определяем, что вектор В перпендикулярен плоскости рамки и направлен на нас (см. рисунок).

r π

Нормаль n к плоскости рамки направляем туда же. Тогда ( B^ n ) = 2 . Так как

магнитное поле прямолинейного проводника с током неоднородно, поверхность, ограниченную рамкой, разобьем на элементарные полоски, параллельные проводу с током. Длина полоски b, ширина – dr. Так как ширина полоски мала, индукция магнитного поля на ней будет постоянной. Магнитный поток сквозь такую полос- ку, расположенную от провода с током на расстоянии r, рассчитывается по фор- муле (4). Для нашего случая она принимает вид

80