ZO-2008

где Q – заряд сферы. Следовательно

Выражение объемной плотности энергии подставим в формулу полной энер-

Объем dV следует выбрать в виде тонкого шарового слоя толщины dr (в пре-

Учитывая, что в пределах объема переменная r изменяется от R до ∞ , получаем

Подставим в полученную формулу числовые значения и произведём вычисления

W = 2 × 3,14 × 8.85 ×10−12 × 4,00 ×10−2 × 5002 = 0,55 ×10−6 Дж.

Ответ: энергия заряженной сферы W = 0,55 мкДж.

ЗАДАЧИ

261. Уединенная металлическая сфера, электроёмкость которой C = 10,0 пФ, заряжена до потенциала ϕ = 3,00 кВ. Определить энергию поля W, заключенного

61

в сферическом слое, ограниченном концентрической с ней сферической поверх- ностью. Радиус поверхности в три раза больше радиуса сферы.

262. Заряд равномерно распределён в вакууме по объёму, имеющему форму шара. Радиус шара R =10,0 см, объёмная плотность заряда ρ = 10,0 нКл/м3. Оп- ределить энергию W электростатического поля, сосредоточенную в самом шаре.

263. Электростатическое поле создано заряженной сферой (Q = 0,10 мкКл), радиус которой R1 = 10,0 см. Найти энергию поля W, заключенного в объеме, ог- раниченном заряженной сферой и концентрической с ней сферической поверхно- стью, радиус которой R2 = 2 R1.

264. Заряд равномерно распределен в вакууме по объему, имеющему форму шара. Радиус шара R = 10,0 см, объёмная плотность заряда ρ = 10,0 нКл/м3. Оп- ределить энергию W электростатического поля вне шара.

265. Уединенный металлический шар радиусом R1= 6,00 см имеет заряд Q. Концентричная этому шару поверхность делит пространство на две части (внут- ренняя — конечная, а внешняя — бесконечная), так что энергии W электростати- ческого поля обеих частей одинаковы. Определить радиус R2 этой сферической поверхности.

266. Эбонитовый шар радиусом R = 10,0 см равномерно заряжен электриче- ством с объемной плотностью ρ . Сфера какого радиуса R1 делит шар на две час- ти, энергии W которых равны?

267. Точечный заряд q = 3,00 мкКл помещается в центре шарового слоя из однородного диэлектрика (ε = 3). Внутренний радиус слоя R1 = 250 мм, внешний R2 = 500 мм. Найти энергию электростатического поля W в шаровом слое.

268. Сферическая оболочка, равномерно заряжена зарядом Q = 0,10 мкКл. В центре оболочки расположен точечный заряд q = 3,00 мкКл. Найти работу А, со- вершенную электрическими силами при увеличении радиуса сферической обо- лочки от R1 = 10,0 см до R2 = 15,0 см.

269. Радиус равномерно заряженной сферической оболочки увеличивается от R1 = 3,00 см, до R2 = 6,00 см. Найти работу А, совершенную при этом электриче- скими силами, если заряд оболочки Q = 2,00 нКл. Задачу решить с помощью фор-

мулы W = òωdV .

V

270. Две концентрические сферические поверхности заряжены одинаковым количеством электричества Q = 3,00 10–6 Кл. Радиус первой сферы R1 = 1,00 м, радиус второй сферы R2 = 2,00 м. Найти энергию электростатического поля W, между этими сферами.

62

Рабочая программа Тема 17. Электрический ток. Закон Ома для однородного и неоднородно-

го участков электрической цепи. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля - Ленца

Пример решения задач

1. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от I0 = 0 до I = 3,00 А в тече- нии времени τ = 10,0 с. Определить заряд Q, прошедший в проводнике.

Подставим в эту формулу выражение для тока, как функцию времени q = òτ ( I0 + kt )dt =I0 òτ dt + kòτ tdt .

2. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 12,0 Ом равномерно убывает в течение времени t = 2,00 с от I0 = 5,00 А, до I = 0. Какое количество теплоты Q1, выделяется в этом проводнике за первую секунду, и Q2 – за вторую?

63

где сила тока I является функцией времени. В данном случае

I = I0 − kt ,

где k – коэффициент пропорциональности, равный отношению приращения силы

Подставим зависимость силы тока от времени в формулу (1)

dQ = ( I0 - kt )2 Rdt .

Для определения количества теплоты, выделившегося за данный промежуток вре- мени, проинтегрируем полученное выражение в пределах от t1 до t2

За вторую секунду пределы интегрирования в формуле (2) t1 =1 с, t2 =2 c и, следо-

вательно

64

Найдем требуемое отношение количеств теплоты

Q2 = 25 = 1 .

Q1 175 7

Таким образом, за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз меньше, чем за пер- вую секунду.

Ответ: за первую секунду в проводнике выделилось Q1 = 25 Дж, за вторую се- кунду Q2 = 175 Дж. Соответствующее отношение количеств теплоты – 1/7.

ЗАДАЧИ

271. Какой заряд q пройдет по проводнику, если в течении t = 10,0 с сила тока уменьшилась от I0 = 10,0 А до I = 5,00 А? Сопротивление проводника R при этом равномерно возрастало, а разность потенциалов ϕ на его концах поддер- живалась постоянной.

272. Сила тока I в проводнике сопротивлением R = 100 Ом в течение време- ни t = 30,0 с равномерно нарастает от I0 = 0 до Imax = 10,0 А. Найти заряд q, про- шедший по проводнику, и количество тепла Q, выделившееся в нем за это время.

273. На участке цепи сопротивлением R = 3,00 Ом равномерно убывает на- пряжение от U0 = 4,00 В до U = 2,00 В в течении времени t = 20,0 с. Определить заряд q, прошедший по проводнику за это время.

274. Сила тока I в проводнике сопротивлением R = 15,0 Ом равномерно воз- растает от I0 = 0 до некоторого максимального значения Iс в течение времени t = 5,00 с. При этом в проводнике выделилось количество теплоты Q = 10,0 кДж. Найти среднюю силу тока <I> в проводнике за это время.

275. Ток меняется в проводнике со временем t по уравнению I = (4 + 2t), где I измеряется в амперах, t – в секундах. Какое количество электричества q проходит через поперечное сечение проводника за время от t1 = 2,00 с до t2 = 6,00 с? При

каком постоянном токе I0 через поперечное сечение проводника за то же время проходит такое же количество электричества?

276. По проводнику сопротивлением R = 3,00 Ом течет ток, сила I которого возрастает. За время t = 8,00 с, в проводнике выделилось количество теплоты Q = 200 Дж. Определить какой заряд q прошел за это время по проводнику, если в начальный момент времени сила тока в проводнике I0 = 0.

277. Сила тока I в проводнике равномерно увеличивается от нуля до некото- рого максимального значения в течение времени t = 10,0 с. За это время в про- воднике выделилось количество теплоты Q = 1,00 кДж. Определить скорость на- растания тока dI/dt в проводнике, если его сопротивление R = 3,00 Ом.

278. Э.д.с. батареи ε = 12,0 В. Наибольшая сила тока, которую может дать ба- тарея, Imax = 5,00 А. Какая наибольшая мощность Рmax может выделиться на под- ключенном к батарее резисторе?

65

279. Пять последовательно соединённых источников тока с э.д.с. = 12,0 В и с внутренним сопротивлением r = 0,20 Ом каждый, замкнуты на внешнее сопротив- ление R. Какой величины должно быть это сопротивление, чтобы во внешней це- пи выделялась максимальная мощность Рmax?

280. Даны четыре гальванических элемента с э.д.с. ε = 1,50 В и внутренним сопротивлением r = 0,20 Ом. Как нужно соединить эти элементы, чтобы получить от собранной батареи наибольшую силу тока Imax во внешней цепи, имеющей со- противление R = 0,20 Ом? Найти эту силу тока.

Рабочая программа Тема 18. Разветвленные электрические цепи. Законы (правила) Кирхго-

фа

Пример решения задач

Три источника тока с э.д.с. ε1 = 11,0 В, ε2 = 4,00 В, ε3 = 6,00 В и три реостата с сопротивлениями R1 = 5,00 Ом, R2 = 10,0 Ом, R3 = 2,00 Ом соединены как пока- зано на рисунке. Определить силы токов I1, I2, I3 в реостатах. Внутренние со-

Анализ и решение

Основной задачей теории постоянного тока является нахождение в электри- ческой цепи силы тока I. Зная эту величину, можно рассчитать практически лю- бую другую величину, характеризующую постоянный ток (работу, мощность, ко- личество теплоты, энергию, параметры магнитного поля и так далее).

Если в электрической цепи имеется несколько различных источников тока, то задача расчета токов с помощью обобщенного закона Ома усложняется, так как невозможно определить результирующую э.д.с. Наиболее распространенный ме-

тод расчета разветвленных электрических цепей основан на применении законов Кирхгофа.

1. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

n

åIi = 0,

i=1

где n – число токов, сходящихся в узле. Узлом электрической цепи называется любая точка разветвления, в которой сходится не менее трех токов.

66

2. В замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электри- ческой цепи, алгебраическая сумма сил токов на сопротивление соответствую- щих участков этого контура равна алгебраической суме электродвижущих сил, встречающихся в этом контуре:

В задаче необходимо найти три значения силы токов, поэтому следует соста- вить три уравнения. Выберем (произвольно) направления токов как указано на рисунке и условимся обходить контуры по часовой стрелке. Применим первый закон Кирхгофа. Он справедлив для узлов электрической цепи. В данной схеме узлов два: А и С. Соблюдая правило знаков (ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком плюс; ток, отходящий от узла, – со знаком минус), для узла

С получим

Для узла А первый закон Кирхгофа ничего нового не дает.

Для получения еще двух уравнений применим второй закон Кирхгофа. Он справедлив только для замкнутых контуров. Выбирать контуры следует таким об- разом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь, не участвовав- шая ни в одном из ранее использованных контуров. В данной схеме три контура: Aε1R1CR2ε2A , Aε2R2CR3ε3A , Aε1R1CR3ε3A . Кроме того, при составлении урав- нений необходимо соблюдать следующее правило знаков:

а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением обхода контуров, то соответствующее произведение IR входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае со знаком минус,

б) если э.д.с. повышает потенциал в направлении обхода контура, то есть, при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника, то со- ответствующая э.д.с. входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае – со

Подставим в (1), (2), (3) числовые значения сопротивлений и э.д.с., получим

I1 + I2 + I3 = 0

6I1 − 10,5I2 = 15,0

10,5I2 − 2I3 = −10,0

Решая систему из трех уравнений относительно токов I1, I2, I3, получаем

I1 = 1,94 А, I2 = −28,6 А, I3 = 26,7 А.

Знак минус в значении силы тока I2 показывает, что при произвольном выборе направления токов, указанных на рисунке, направление тока I2 было указано про- тивоположно истинному. В действительности ток I2 течет от узла С к узлу А.

67

ЗАДАЧИ

281. Два источника тока с различными э.д.с. ε1 = 10,0 В, ε2 = 8,00 В и внут- ренними сопротивлениями r1 = 1,00 Ом, r2 = 2,00 Ом включены параллельно с со- противлением R = 6,00 Ом (см. рис.1 приложения). Вычислить токи, текущие че- рез источники и сопротивление.

282. Три источника с э.д.с. ε1 = 6,00 В, ε2 = ε3 = 4,00 В и внутренними со- противлениями r = 0,50 Ом каждый соединены, как показано на рис.2 Приложе- ния, и замкнуты на резистор. Определить разность потенциалов ϕ между точка-

ми D и C, если сопротивление резистора R = 4,00 Ом.

283. Элементы цепи, схема которой изображена на рис. 3 приложения, имеют следующие значения: ε1 = 1,50 В, ε2 = 1,60 В, R1 = 1,00 кОм, R2 = 2,00 кОм. Опре- делить показания вольтметра Uv, если его сопротивление Rv = 2,00 кОм, а внут- ренние сопротивления источников пренебрежимо малы.

284. Два источника тока (ε1 = 8,00 В, ε2 = 6,00 В, r1 = 2,00 Ом, r2 = 1,50 Ом) и

реостат (R = 10,0 Ом) соединены, как показано на рис.4 приложения. Вычислить силы токов I, протекающих через каждый источник и реостат.

285. В схеме (см. рис.5 приложения) резисторы R1 = 10,0 Ом, R2 = 20,0 Ом и R3 = 30,0 Ом. Э.д.с. источников ε1 = 1,50 В, ε2 = 2,00 В, ε3 = 2,50 В, их внутренние сопротивления очень малы. Найти силу тока I1, текущего через сопротивление R1.

286. Батарея аккумуляторов соединена параллельно с генератором постоян- ного тока (см. рис.6 приложения). Э.д.с. генератора ε1 = 110 В, батареи ε2 = 100 В, их внутренние сопротивления r1 = r2 = 5,00 Ом. Определить, будут ли аккумуля- торы разряжаться или заряжаться, если сопротивление R = 100 Ом?

287. Студент, собирая батарею из n = 25 параллельно соединенных одинако- вых источников с э.д.с. ε = 1,20 В, ошибся и включил один источник неправиль- но (см. рис.7 приложения). Что покажет вольтметр?

278. Э.д.с. источников тока ε1 = 2,10 В и ε2 = 1,90 В, резисторы R1 = 45,0 Ом, R2 = R3 = 10,0 Ом (см. рис.8 приложения). Найти токи I во всех участках цепи.

289. Три сопротивления R1 = 5,00 Ом, R2 = 1,00 Ом и R3 = 3,00 Ом, а также источник тока с э.д.с. 1,40 В соединены, как показано на рис.9 приложения. Опре- делить э.д.с. ε источника тока, который надо включить в цепь между точками а и b, чтобы через резистор R3 шел в указанном направлении ток I = 1,00 А.

290. В приведенной на рис.10 приложения схеме электрической цепи, э.д.с. источников ε1 = 1,00 В, ε2 = 2,00 В, ε3 = 3,00 В, их внутренние сопротивления r1 = 1,00 Ом, r2 = 0,50 Ом, r3 = 0,33 Ом, резисторы R1 = 1,00 Ом, R2 = 0,33 Ом. Оп-

ределить силу тока I, текущего через источник тока ε2.

68

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 3

Студент-заочник должен решить семь задач того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой его шифра (табл. 3).

Рабочая программа Тема 19. Магнитное поле в вакууме. Закон Био-Савара. Принцип супер-

позиции магнитных полей. Индукция магнитного поля прямолинейного и кругового проводников с током

Пример решения задач

Проводник, по которому течет ток I = 5,00 А, имеет вид, показанный на рисун- ке. Радиус изогнутой части проводника R = 10,0 см, прямолинейные части про- водника очень длинные. Определить индукцию магнитного поля созданного то- ком в центре полукольца.

69

Анализ и решение

Для вычисления индукции магнитного поля воспользуемся законом Био- Савара и принципом суперпозиции магнитных полей. В силу этого принципа маг-

нитная индукция B в любой точке магнитного поля проводника с током равна векторной сумме магнитных индукций dB , созданных в этой точке всеми его элементами Idl , то есть

l

где l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода.

Из принципа суперпозиции полей следует также, что если магнитное поле

создано несколькими проводниками с током, то вектор B в какой-либо точке это- го поля равен векторной сумме индукций магнитных полей, созданных в этой

точке каждым током в отдельности

i=1

Чтобы, применяя соотношения (1) и (2) получить правильный результат, необхо- димо знать направления складываемых векторов dB или Bi .

Разобьем наш проводник с током на три участка: два, ограниченных с одного конца прямолинейные отрезки 1 и 3 и полукольцо 2. Согласно (2), индукция маг-

нитного поля в центре полукольца будет равна

BA = B1 + B2 + B3 .

Рассмотрим участок проводника 1 (см. рис. 2). Выделим на нем элемент тока

здесь dB1 – индукция магнитного поля, создаваемая элементом провода dl с то- ком I в точке, определяемой радиус-вектором r , μ0 – магнитная постоянная, dl –

70