ZO-2008

p = ( p0 − αV )

находим давление при максимальном объеме

pmax = р0 - α р0 = р0

2α 2

Максимальную температуру определяем, воспользовавшись уравнением состоя- ния газа (1)

Ответ: максимальная температура воздуха Тmax = 140 К.

ЗАДАЧИ

171. Азот находиться в цилиндрическом сосуде объемом V = 100 л при дав- лении p = 200 кПа. Определить массу m азота, если его температура по высоте со- суда изменяется линейно от T1 = 280 К до T2 = 360 К.

172. Гелий массой m = 20,0 г находиться под давлением p1 = 0,40 МПа и за- нимает объем V1 = 32,0 л. Затем газ сжимается до объема V2 = 10,0 л, при этом давление повышается до р2 = 1,55 МПа. Определить максимальную температуру Тmax, если давление газа является линейной функцией объема.

173. Зависимость давление идеального газа от объема описывается уравнени- ем Р = (Р0−α V2), где Р0 = 1,00·105 Па и α =1,00·105 Па/м6. Определить макси- мальную температуру газа Тmax , если его количество ν = 6,00 моль.

174. Определить наименьшее возможное давление Рmin водорода в процессе, происходящем по закону Т = (Т0+α V2), где Т0 = 400 К, α = 100 К/м6. Масса во- дорода m = 0,20 кг.

175. Определить максимальные температуру Тmax, давление рmax и объем Vmax десяти молей идеального газа, если его объем зависит от его давления по линей- ному закону V = V0 − α p где α = 0,10 м 3/ МПа, V0 = 1,00 м 3.

176. В баллон объемом Vбал = 300 л накачивают воздух из атмосферы с по- мощью компрессора. Объем цилиндра компрессора Vцил = 0,30 л, частота циклов сжатия n = 10 с-1. Считая процесс накачивания изотермическим, определить зави- симость давления воздуха в баллоне рбал от времени t. Через сколько времени t1 давление воздуха повыситься в два раза?

31

177. Из баллона объемом Vбал = 300 л насосом откачивается воздух. За один ход поршня насоса захватывается воздух объемом Vнас = 0,30 л. Частота ходов поршня n = 10 с-1. Считая процесс откачивания изотермическим, определить зави- симость давления воздуха в баллоне рбал от времени t. Через сколько времени t1 давление воздуха понизится в два раза?

178. Воздух у поверхности Земли находиться при нормальных условиях. Считая температуру и молярную массу воздуха постоянными, найти зависимость его давления р от высоты h над поверхностью Земли. Рассчитать, не пользуясь барометрической формулой, давление воздуха на высоте h = 5,00 км.

179. Сколько времени надо откачивать газ из колбы объемом V = 1,50·103 см3, чтобы давление понизилось от р0 = 760 мм. рт. ст. до р = 0,10 мм. рт. ст. Быстрота действия насоса постоянная и равна k = dV/dt = 180 см3/с. Изменением температу- ры газа в колбе во время откачки пренебречь.

180. В герметичном сосуде, объемом V = 10,0 л, четверть объема занимает воздух под давлением р = 1,00 МПа, три четверти – вода. При открытии крана из сосуда начинает выливаться вода. Расход воды пропорционален давлению в сосу- де dm/dt = α p , где α = 1,00×10 –8 Па кг/с. Определить зависимость объема воздуха

в сосуде от времени. Через сколько времени t из сосуда выльется вся вода?

Рабочая программа Тема 9. Внутренняя энергия и работа идеального газа. Количество теп-

лоты. Теплоемкость. Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам. Адиабатический и политропический процессы.

Пример решения задач

Один моль аргона расширили так, что pVn = const , где n = 1,5. При этом тем-

пература понизилась на 26 К. Определить работу, совершенную газом и количе- ство подведенной теплоты.

32

Для определения постоянной величины const, воспользуемся уравнением

Отношение объёмов заменяем отношением температур. Для этого запишем ис-

ходное уравнение для начального и конечного состояний газа

С другой стороны, по уравнению Клайперона-Менделеева, записанного для тех же состояний газа, имеем

Подставим это выражение в формулу (4)

33

Поставим численные значения и произведём вычисления

A = 2 ×1×8,31× 26 = 432 Дж.

Для определения подведенного к газу количества теплоты необходимо вос- пользоваться законом сохранения и превращения энергии применительно к тер-

модинамическим процессам – первым началом термодинамики

энергии, A – работа, совершенная газом против внешних сил. Так как в процессе расширения газа его температура понижается, то его внутренняя энергия умень- шается, т.е. U < 0. Изменение внутренней энергии газа находится по формуле

U = 2i ν R T ,

где i –число степеней свободы. Подставим в это выражение значение величин и

подсчитаем U

U = 32 ×1×8,31×( -26 ) = -324 Дж.

Итак

Q = 432 + (–324) = 108 Дж.

Количество теплоты Q, положительно, следовательно, тепло в этом процессе га- зом поглощается.

Ответ: газ аргон совершает работу A = 432 Дж и поглощает 108 Дж теплоты Q.

ЗАДАЧИ

181. Атомарный кислород О, молекулярный кислород О2 и озон О3 отдельно друг от друга расширяются изобарно, при этом расходуется Q = 1200 КДж тепло- ты. Определить работу А расширения и изменение внутренней энергии U ато- марного, молекулярного кислорода и озона.

182. В баллоне V = 10,0 дм3 содержится кислород при температуре to = 270С и давлении p = 1,00·107 Па. Газ нагрели, сообщив ему Q = 8350 Дж теплоты. Найти температуру Т и давление р кислорода после нагревания.

183. Для изотермического сжатия газа массой m = 2,00 кг была затрачена ра- бота А = – 1,37 КДж. В конце сжатия давление р газа увеличилось в три раза. Ка-

34

кой это газ и чему равен его первоначальный удельный объем? До сжатия газ на- ходился под давлением р1 = 5,00·105 Па и имел температуру to = 27,00C.

184. Сероводород (Н2S) массой m = 6,00 кг, занимающий объем V = 3,00 м3 при температуре to = 27,00C, сжали адиабатно так, что давление его увеличилось в два раза. Определить конечные объем V, температуру Т, а также изменение внут- ренней энергии U газа.

185. Два моля кислорода медленно переводятся из состояния 1 в состояние 2. Какое количество теплоты Q необходимо подвести к газу, если в координатах рV процесс изображается прямой линией? В состоянии 1 давление газа р1 = 100 КПа, объем V1 =24,6 л, температура Т1 =300 К, а в состоянии 2 давление р2 = 300 КПа, объем V2 = 49,2 л.

186. Два моля азота N2, находившиеся при нормальных условиях, сначала изотермически перевели в некоторое состояние, а затем адиабатно – в конечное состояние с объемом, в n = 4 раза больше начального. Какую работу А совершил газ, если в изотермическом процессе ему было сообщено Q = 11,3 КДж теплоты.

187. Кислород О2 массой m = 10,0 г при температуре Т1 = 370 К подвергли адиабатному расширению. В результате его давление уменьшилось в n = 4 раза. Далее газ изотермически сжимается до первоначального давления. Определить: 1) температуру газа T2 в конце процесса; 2) количество теплоты Q, отданное га- зом; 3) приращение внутренней энергии U газа; 4) работу A, совершенную га- зом.

188. Идеальный двухатомный газ, занимавший при давлении р1 = 300 КПа объем V = 4,00 л, расширяют до объема V2 = 6,00 л, при этом давление падает до значения р2 = 100 КПа. Процесс происходит сначала по адиабате, затем по изохо- ре. Определить работу А сил давления газа, изменение его внутренней энергии U и количество поглощенной теплоты Q при этом переходе.

189. Половину моля идеального одноатомного газа нагревают от температу- ры Т1 = 250 К до Т2 = 500 К так, что в процессе нагревания р/V = соnst. Опреде- лить молярную теплоемкость См газа и рассчитать количество теплоты Q, погло- щенное газом при нагревании.

190. Водород Н2 объемом V = 1,00 м3, находившийся при нормальных усло- виях, сначала изохорно перевели в состояние с давлением в n1 = 5 раз большим первоначального, а затем изобарно в состояние с объемом в n2 = 2 раза больше первоначального. Определить изменение внутренней энергии газа U, работу А, совершенную им, и полученное количество теплоты Q.

35

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 2

Студент–заочник должен решить девять задач того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой его шифра (табл. 2).

Таблица 2

Рабочая программа Тема 10. Взаимодействие точечного электрического заряда с заряжен-

ными телами. Напряженность электростатического поля, созданного в вакууме электрическими зарядами, распределенными по линии, кольцу и плоскости.

Пример решения задач

Тонкая бесконечная нить согнута под углом 900. Нить несет заряд, равномерно распределённый с линейной плотностью τ = 1,00 мкКл/м. Определить силу F, дей- ствующую на точечный заряд q = 0,10 мкКл, расположенный на продолжении одной из сторон и удалённой от вершины угла на a = 50,0 см.

F= qE .

Внашем случае вектор напряженности электростатического поля заряженной ни- ти E в том месте, где находится заряд q, согласно принципу суперпозиции, равен

36

векторной сумме напряженностей полей, создаваемых вертикальной EI и гори-

1. Рассмотрим вертикальную часть нити I. Выделим на ней дифференциально малый участок (элемент) длиной dl (см. рис.). Тогда находящийся на этом участке

ный от элемента длины нити dl к точке поля, где вычисляется напряжённость,

r

r = r . Чтобы найти напряженность поля, созданного вертикальной частью нити,

необходимо сложить (проинтегрировать) напряженности от всех элементов нити. При этом следует учесть, что все слагаемые являются векторами и имеют различ- ные направления.

Выберем оси ОХ и ОУ, как показано на рисунке, и спроецируем вектор dEI

на эти оси

dEIx = dEI cosα , dEIy = dEI sinα .

Суммарные проекции напряженности EIx и EIy найдем интегрированием по дли- не нити. В качестве переменной величины удобно выбрать угол α , который со-

ставляет радиус-вектор r с нормалью к нити. Из рисунка следует, что r = cosaα .

37

Через начало элемента длины нити проведём дугу ВС, радиусом r с центром в точке, где находится заряд q. Длина дуги лежащей напротив центрального угла dα , равна rdα . Треугольник ВqС, вследствие того, что отрезок нити dl мал, мож-

rddlα = cosα . Учитывая, что угол α изменяется

от 0 до π2 , получаем

π

=k τa (-cosπ2 + cos0) = k τa .

2.Рассмотрим горизонтальную часть нити II. Выделим на ней дифференци-

ально малый участок (элемент) длиной dl. Тогда находящийся на этом участке за- ряд dQ = τ dl можно считать точечным. В точке пространства, где находится заряд q, он создает поле, вектор напряженности которого находится по формуле

Так как изменение длины нити совпадает с изменением расстояния до заряда q, то dl = dr и интегрирование ведется по длине нити от а до ∞

EIIy = 0

Суммарные значения проекций вектора напряженности на оси OX и OУ будут

равны

τ

Ey = EIy = k a .

38

Так как Ех и Еу взаимно перпендикулярны, то модуль результирующей напряжен-

ности находится по формуле

Таким образом, искомая сила, действующая на точечный заряд со стороны заря- женной нити, будет равна

F = qE = qτ 5 .

4πε0a

Проверим наименование силы в системе СИ

наимен.F = Кл× Кл2 × Н × м2 = Н .

Кл м× м

Подставим числовые значения и произведём вычисления

Ответ: заряд q и заряженная нить взаимодействуют с силой F = 4,02 10–3 Н.

ЗАДАЧИ

201. Тонкий стержень длиной l = 10,0 см равномерно заряжен. Линейная плотность заряда τ = 1,00 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии a = 20,0 см от ближайшего его конца находится точечный заряд q = 100 нКл. Оп- ределить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

202. Тонкий стержень длиной l = 20,0 см несет равномерно распределенный заряд Q =0,10 мкКл. Определить напряженность E электростатического поля, соз- даваемого распределенным зарядом в точке, лежащей на оси стержня на расстоя- нии a = 20,0 см от его конца.

203. Тонкое полукольцо радиусом R = 10,0 см несет равномерно распреде- ленный заряд с линейной плотностью τ = 1,00 мкКл/м. В центре кривизны полу- кольца находится заряд q = 20,0 нКл. Определить силу F взаимодействия точеч- ного заряда и заряженного полукольца.

204. По тонкому полукольцу равномерно распределен заряд Q = 20,0 мкКл с линейной плотностью τ = 0,10 мкКл/м. Определить напряженность E электроста- тического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны.

205. По тонкому кольцу радиусом R = 10,0 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 1,00 нКл/м. Точечный заряд q = 0,40 мкКл находится в центре кольца. Определить силу Fн, растягивающую кольцо. Взаимодействием зарядов кольца пренебречь.

39

206. Тонкое кольцо несет распределенный заряд Q = 0,20 мкКл. Определить напряженность E электростатического поля, создаваемого распределенным заря- дом в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20,0 см. Ра- диус кольца R = 10,0 см.

207. Тонкий стержень длиной l = 12,0 см несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью τ = 200 нКл/м. Определить напряженность Е элек- тростатического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке, лежащей на перпендикуляре к стержню, проведенном через один из его концов, на расстоянии а = 8,00 см от этого конца.

208. Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью σ = 1,00 нКл/м2. Найти напряженность электростатического поля Е в геометрическом центре полусферы.

209. Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длиной l = 12,0 см за- ряжен равномерно зарядом Q = 0,10 мкКл. Найти модуль вектора напряженности Е электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии а = 5,00 см от стержня против его середины.

210. Тонкий диск радиусом R = 4,00 см равномерно заряжен с поверхностной плотностью σ = 1,79 мкКл/м2. Определить напряженность Е электростатического поля в точке, лежащей на оси диска на расстоянии а = 3,00 см от его центра.

Рабочая программа Тема 11. Поток вектора напряженности электростатического поля.

Принцип суперпозиции. Электростатическая теорема Гаусса и её применение для расчета напряженности электростатического поля в вакууме

Пример решения задач

Бесконечно длинный цилиндр радиусом R1 = 5,00 см заряжен с объёмной плотно- стью ρ = 1,00 нКл/м3. Вокруг цилиндра, коаксиально с ним, расположена цилинд- рическая сетка радиусом R2 = 10,0 см. Сетка заряжена с поверхностной плот- ностью σ = – 2,00 нКл/м2. Вычислить напряжённость электростатического по- ля Е в точках, расположенных на расстояниях r1 = 2,00 см, r2 = 8,00 см, r3 = 15,0 см от оси цилиндра.

40