ZO-2008
.pdf
правлены по радиусу. Такая симметрия позволяет искать напряженность поля с помощью теоремы Гаусса:
R1 
O R2
E3 |
|
|
E1 |
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
S3 |
S2 |
S1 |
r1 |
r2 |
h |
r3 |
|
|
|||
OI
Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε0 .
|
|
ò |
r r |
ò |
r |
r |
ò |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
åQi , |
|||||
|
|
ФE = !EdS |
=!EdS cos(E ^ dS) = !EndS = |
|
||||||
|
r |
S |
|
S |
|
|
S |
ε0 i=1 |
||
здесь |
– вектор, модуль которого равен элементу поверхности dS, а его |
|||||||||
dS = dSn |
||||||||||
направление совпадает с направлением внешней нормали n к элементу поверхно- сти, Еn – проекция вектора E на нормаль n к элементу поверхности dS .
В качестве произвольной замкнутой поверхности следует выбрать поверх- ность, коаксиальную заряженным поверхностям, то есть в виде цилиндра конеч- ной высоты. Характер зависимости Е(r) для точек, лежащих внутри цилиндра, между цилиндром и сеткой и вне сетки, различен. Поэтому следует использовать три вспомогательные цилиндрические поверхности S1, S2, S3 с радиусами r1 < R1, R1 < r2 < R2 и r3 > R2 (см. рисунок). Для каждой поверхности теорема Гаусса мо-
жет быть записана в виде
ò |
|
1 |
n |
|
|
EndS = |
åQi . |
(1) |
|||
! |
|||||
|
|||||
S |
|
ε0 i=1 |
|
||
1 ,2 ,3 |
|
|
|
|
|
Из рисунка видно, что боковые поверхности вспомогательных цилиндров и их основания находятся в разных условиях относительно силовых линий поля. Во
всех точках основания ( E ^ dS ) = 900 и поток вектора напряженности сквозь ос- нования равен нулю. На боковых поверхностях S1,2,3бок нормаль n совпадает с на- правлением вектора E . Поэтому
41
ò |
ò |
! EndS = |
! EndS . |
S1,2 ,3 |
Sбок1 ,2 ,3 |
Все точки боковых поверхностей находятся в одинаковых условиях относительно зарядов, что позволяет считать E n постоянной величиной. Тогда
ò |
ò |
dS = En 2π rh , |
|
! EndS = En |
|
(2) |
|
Sбок1 ,2 ,3 |
Sбок1,2 ,3 |
|
|
здесь r и h – радиус и высота вспомогательных поверхностей. Следует обратить внимание, что r – это расстояния от оси цилиндра до точек, в которых вычисляет- ся напряженность поля и одновременно радиусы вспомогательных поверхностей.
Сумма зарядов, охваченных вспомогательной поверхностью, стоящая в пра- вой части выражения (1), зависит от радиуса вспомогательной поверхности.
При r < R1, внутри поверхности S1, находится часть заряда цилиндра и так как заряд распределён равномерно, то Q1 = ρV1 , где V1 = π r12h – объём, заклю- чённый внутри поверхности S1. Таким образом
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1 = åQi = ρπ r12h. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя последнее выражение в (1) и заменяя интеграл по замкнутой по- |
|||||||||||||
верхности S1 правой частью равенства (2), получаем |
|
|
|
|
ρr1 |
|
|||||||
E |
n |
2π r h = |
1 |
ρπ r2h , откуда E |
n |
= |
|
. |
|||||
|
|
||||||||||||
|
1 |
ε0 |
1 |
|
|
|
|
2ε0 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Проверим наименование напряженности в системе СИ |
|
|
|||||||||||
|
|
наимен.E = |
Кл× м× Нм2 |
= |
|
|
Н |
|
. |
|
|||
|
|
м3 |
× Кл2 |
|
Кл |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В полученную формулу подставим численные значения величин и произведём вычисления
|
|
|
|
|
1,00 ×10−9 × 2,00 ×10−2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
E |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1,13 Н/Кл. |
||||||
|
n1 |
|
2 |
× |
8,85 ×10−12 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
находится заряд Q2 = ρV2 , где |
|||||||||||
|
При R1 < r2 < R2 внутри поверхности S2, |
|||||||||||||||||
V = π R2h – объём цилиндра, заключённого внутри поверхности S2. Тогда |
||||||||||||||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
åQi = Q2 = ρπ R12h . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя это выражение в (1) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S2 |
||||||||||||||||||
правой частью равенства (2), получаем |
|
|
|
|
|
ρ R2 |
||||||||||||
|
E |
|
2π R h = |
|
1 |
ρπ R2h, откуда E |
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
n |
= |
1 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
ε0 |
|
1 |
|
|
|
|
2r2ε0 |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проверим наименование напряженности в системе СИ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
наимен.E = |
Кл× м2 |
× Нм2 |
= |
Н |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
м3 × м |
× Кл2 |
Кл |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
42
Подставим числовые значения величин и произведём вычисления
E |
= |
1,00 ×10−9 × ( 5,00 ×10−2 )2 |
= 1,77 Н/м. |
|
2× 8,00 ×10−2 × 8,85 ×10−12 |
||||
|
n2 |
|
При r3 > R2 внутри поверхности S3 поле будет создаваться заряженными ци- линдром и сеткой. Тогда
n
åQi = Q3 = ( ρπ R12h + σ 2π R2h ),
i=1
здесь 2π R2h – площадь поверхности сетки, по которой равномерно распределён
заряд с поверхностной плотностью σ . Подставляя значение заряда в (1) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S3 правой частью равенства (2), получаем
|
E |
|
× 2π r h = |
1 |
( ρπ R2h + 2σπ R h ), откуда E |
|
= |
|
1 |
|
( ρ R2 |
+ 2σ R ). |
|
||||||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2r3ε0 |
|
1 |
2 |
|
|||||||
|
|
3 |
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проверим наименование напряженности в системе СИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
наимен.Е = |
Н × м2 |
( |
Кл × м2 |
+ |
Кл× м |
) |
= |
Н |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
м |
× Кл2 |
м3 |
|
м2 |
Кл |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Подставим числовые значения величин и произведём вычисления |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
é |
|
−9 |
|
|
|
−2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−9 |
|
ù |
|
||
En3 = |
|
ë1,00 ×10 |
|
( 5,00 ×10 |
|
) |
- 2 × 2,00 ×10 |
|
× 0,1û = -149,8 |
Н/м. |
|||||||||||||||
2 × 0,15 × 8,85 ×10−12 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Знак « – » означает, что угол между векторами E3 |
и dS равен 1800 (см. рис.). |
|
|||||||||||||||||||||||
Ответ: напряжённости поля в трёх точках соответственно равны E1 = 1,13 Н/м,
E2 = 1,77 Н/м, E3 = 149,8 Н/м.
ЗАДАЧИ
211. Длинный тонкий прямой провод, расположенный в вакууме, имеет рав- номерно распределенный заряд с линейной плотностью τ = 1,00·10–9 Кл/м. Най- ти с помощью теоремы Гаусса, напряженность электростатического поля Е в точ- ке, удаленной от провода на расстояние а = 1,50 м.
212. Две параллельные, бесконечно длинные прямые нити несут заряд, рав- номерно распределенный по длине с линейными плотностями τ1= 0,10 мкКл/м и τ2= 0,20 мкКл/м. Определить силу F взаимодействия, приходящуюся на отрезок нити длиной l = 1,00 м, если расстояние между нитями r = 10,0 см. Расчет напря- женности электростатического поля провести с помощью теоремы Гаусса.
213. Бесконечная равномерно заряженная плоскость имеет поверхностную плотность электрических зарядов σ = +9,00·10–6 Кл/м2. Над ней находится алюми- ниевый шарик, имеющий заряд q = 3,68·10–7 Кл. Какой радиус R должен иметь шарик, чтобы он не падал? Расчет напряженности электростатического поля плоскости провести с помощью теоремы Гаусса.
43
214. В вакууме имеется скопление зарядов в форме длинного цилиндра ра- диусом R = 2,00 см. Объемная плотность зарядов ρ = 2,00 мкКл/м3. Найти с по-
мощью теоремы Гаусса, напряженность электростатического поля Е в точках, ле- жащих на расстояниях r1 = 1,00 см, r2 = 3,00 см от оси цилиндра.
215. Свободные заряды равномерно распределены по объему шара радиусом R = 10,0 cм. Объемная плотность заряда ρ = 5,00 нКл/м3. Определить напряжен- ность электростатического поля Е на расстояниях r1 = 5,00 см, r2 = 15,0 см от цен- тра шара. Для расчета применить теорему Гаусса.
216. Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд q = 30,0 нКл. Электростатическое поле конденсатора действует на заряд с силой F1 = 10,0 мН. Определить силу F2 взаимного притяжения пластин, если площадь каждой пластины S = 100 см2. Напряженность Е поля заряженного конденсатора найти с помощью теоремы Гаусса.
217. Металлическая сетка в виде цилиндра радиусом R = 1,50 см несет заряд, равномерно распределенный по поверхности с плотностью σ = 0,01 мкКл/м2. Оп- ределить, применяя теорему Гаусса, напряженность электростатического поля Е в точках, отстоящих от оси цилиндра на расстояниях r1 = 1,00 см и r2 = 3,00 см.
218. В центре заряженной с поверхностной плотностью σ = 0,10 мкКл/м2 сферы радиусом Rсф = 5,00 см, находится шар, равномерно заряженный по объему (σ = 10,0 нКл/м3). Радиус шара Rш = 3,00 см. Используя теорему Гаусса, опреде- лить напряженность электростатического поля Е в точках, находящихся на рас- стояниях r1 = 2,00 см, r2 = 4,00 см, r3 = 6,00см от центра шара.
219. Точечный заряд q = 1,60·10–19 Кл окружен равномерно заряженным об- лаком радиусом R = 5,00·10–11 м. Система электрически нейтральна. Применяя теорему Гаусса, найти напряженность электростатического поля Е в точке, уда- ленной от точечного заряда на расстояние r = R/2.
220. Электростатическое поле создано тонкой очень длинной нитью, заря- женной с линейной плотностью τ = 30,0 нКл/м. На расстоянии r = 20,0 см от нити находится плоская прямоугольная площадка, ориентированная так, что вектор на-
пряженности Е , проходящий через середину площадки, составляет угол β = 300
с ее плоскостью. Стороны площадки а = 1,00 см, в = 2,00 см. Используя теорему Гаусса, найти поток вектора напряженности ФЕ через площадку.
Рабочая программа Тема 12. Потенциал электростатического поля зарядов распределенных
по линии, кольцу и плоскости. Принцип суперпозиции
44
Пример решения задач
По тонкой проволочной нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R, рав- номерно распределён заряд с линейной плотностью τ = 10,0 нКл/м. Определить потенциал электрического поля ϕ , создаваемого этим зарядом в точке, совпа-
дающей с центром кривизны дуги. Длина нити l составляет 1/3 длины окружно- сти.
|
Дано |
|
т.О |
|||
τ =10,0 нКл/м |
|
|
||||
l = |
|
1 |
|
2π R |
|
|
3 |
|
R |
||||
|
|
|
|
|||
ϕ = ? |
|
dl |
Q |
|||
|
|
|
|
|
l |
|
Анализ и решение
Электростатическое поле создано зарядом, распределенным по тонкой дуге. Оно не обладает достаточной симметрией, и указать точную конфигурацию сило- вых линий электростатического поля невозможно. Поэтому для нахождения энер- гетической характеристики поля – потенциалаϕ , можно использовать только принцип суперпозиции. Разобьем дугу на элементарные участки длиной dl. Заряд dQ , находящийся на этом участке, можно считать точечным. Тогда потенциал dφ,
создаваемый в центре кривизны таким зарядом, рассчитаем по формуле |
|
|||
dϕ = k |
dQ |
, |
(1) |
|
r |
||||
|
|
|
||
где k = 4πε1 0 , r – расстояние от элемента dl до точки, потенциал в которой мы вы-
числяем. Потенциал результирующего поля получим интегрированием выраже- ния (1)
|
|
|
|
ϕ = ò |
dQ |
k , |
(2) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Q r |
|
|
||
где интеграл берется по всему заряду Q, создающему поле. |
||||||||
Равномерное распределение заряда по дуге позволяет утверждать, что |
||||||||
|
dQ |
= |
Q |
, откуда dQ = |
Q |
dl = τ dl , |
||
|
dl |
l |
|
|||||
|
|
|
|
|
l |
|||
здесь τ – линейная плотность заряда дуги. Тогда формула (2) примет вид
ϕ = kòτ dl .
l r
Произведём интегрирование, учитывая, что r = R, а длина нити меняется от 0 до l = 13 2π R
45
|
2 |
π R |
τ dl |
= k τ |
l 03π R = k τ 2π R . |
||||||||
ϕ = |
|||||||||||||
ò k |
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
R |
|
R |
|
|
|
R |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Заменим k её значением, произведем сокращение и получим окончательную фор-
мулу
|
ϕ = |
τ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6ε0 |
|
|
|
|
Проверим наименование потенциала в системе СИ |
|
|||||
наимен. ϕ = |
Кл× Н × м2 |
= |
Дж |
= В. |
||
|
м× Кл2 |
|
Кл |
|
||
Подставим числовые значения величин и произведём вычисления
ϕ = |
|
10,0 ×10−9 |
= 188,3 В. |
|
6 |
× 8,85×10−12 |
|||
|
|
Ответ: создаваемый заряженной дугой в её центре потенциал ϕ = 188,3 В.
ЗАДАЧИ
221. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R = 10,0 см. Он равномерно заряжен с линейной плотностью заряда τ = 800 нКл/м. Пользуясь принципом су- перпозиции, определить потенциал электростатического поля φ в точке, располо- женной на оси кольца на расстоянии h = 10,0 см от его центра.
222. Тонкая квадратная рамка равномерно заряжена с линейной плотностью заряда τ = 200 пКл/м. Применяя принцип суперпозиции, рассчитать потенциал электростатического поля φ в точке пересечения диагоналей.
223. Тонкий стержень согнут в полукольцо радиусом R = 10,0 cм. Он заряжен с линейной плотностью τ = 300 нКл/м. Какую работу А надо совершить, чтобы перенести заряд q = 1,00 нКл из центра полукольца в бесконечность? Для расчета потенциала в центре кольца использовать принцип суперпозиции.
224. На отрезке тонкого прямого стержня длиной l = 10,0 см распределен электрический заряд с линейной плотностью τ = 10,0 нКл/м. Пользуясь принци- пом суперпозиции, вычислить потенциал электростатического поля ϕ в точке, ле- жащей на оси стержня и удаленной от его ближайшего конца на расстояние, рав- ное длине стержня.
225. Электростатическое поле создано тонким стержнем, заряженным элек- трическим зарядом с линейной плотностью τ = 1,00 нКл/м. Применяя принцип суперпозиции, определить потенциал электростатического поля ϕ в точке, уда- ленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.
226. Тонкая круглая пластина несет равномерно распределенный по поверх- ности заряд Q = 1,00 нКл. Радиус пластины R = 5,00 см. Найти с помощью прин- ципа суперпозиции потенциал электростатического поля ϕ в центре пластины.
46
227. Тонкое плоское кольцо с внутренним радиусом R1 = 2,00 см и внешним радиусом R2 = 5,00 см, имеет заряд Q = 10,0 нКл. Вычислить с помощью принци- па суперпозиции потенциал электростатического поля ϕ в центре кольца.
228. Тонкая круглая пластина радиусом R = 10,0 см равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ = 5,00 нКл/м2. Вычислить с помощью принципа су- перпозиции потенциал электростатического поля ϕ в точке, лежащей на оси, пер- пендикулярной плоскости пластины на расстоянии h = 5,00 см от ее центра.
229. Найти с помощью принципа суперпозиции потенциал электростатиче- ского поля ϕ на краю тонкого равномерно заряженного диска. Радиус диска R = 20,0 см, а поверхностная плотность заряда σ = 0,25 мКл/м2.
230. Полусфера с радиусом R = 10,0 см, равномерно заряжена с поверхност- ной плотностью σ =1,00 нКл/м2. Найти, применяя принцип суперпозиции, потен- циал электростатического поля ϕ полусферы в ее геометрическом центре.
Рабочая программа Тема 13. Работа по перемещению зарядов в поле. Градиент потенциала
электростатического поля и его связь с напряженностью.
Пример решения задач
Точечный заряд q = – 1,00 мкКл расположен на продолжении диаметра заря- женного шара. Какую работу надо совершить, чтобы перенести этот заряд из точки 1 в точку 2 поля, созданного шаром. Потенциал шара ϕшара = 1,00 кВ?
Дано |
|
Q |
|
|
|
||
q = – 1,00 мкКл |
R |
E |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
ϕшара = 1,00 кВ |
1 |
2 r |
|||||
|
|||||||
|
O |
|
R – q |
2R |
|
|
|
А* = ? |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Анализ и решение
Работа А*, совершаемая внешними силами при перемещении заряда в куло- новском поле, равна работе сил поля, взятой с обратным знаком:
A* = −A |
= q(ϕ −ϕ |
2 |
), |
(1) |
12 |
1 |
|
|
здесь ϕ1 и ϕ2 – потенциалы соответственно начальной и конечной точек. Для того
чтобы определить знак работы внешних сил, надо выяснить направление силовых линий поля. Как видно из рисунка, при движении заряда q из точки 1 по направ- лению к точке 2 заряд перемещается по силовой линии, то есть против кулонов- ских сил, и работа внешних сил будет положительна.
Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала E = −gradϕ . Для поля с осевой симметрией, каким является поле шара, это соотношение можно записать в виде
47
E = −dϕ / dr , или dϕ = −Edr .
Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциалов двух точек, от-
стоящих на r1 и r2 от центра шара
r2 |
|
(ϕ1 - ϕ2 ) = ò Edr . |
(2) |
r1 |
|
Используя теорему Гаусса, можно показать (см. пример из Темы 11), что шаровая (сферическая) поверхность радиуса R, равномерно заряженная зарядом Q, создает электростатическое поле, в котором:
при r > R
E = k |
Q |
, |
|
(3) |
|
r2 |
|||||
|
|
|
|
||
∞ |
|
Q |
|
||
ϕ шара = ò Edr = k |
, |
||||
r |
|||||
r |
|
|
|||
при r < R
E= 0 ,
ϕшара = const = k QR ,
где k = 4πε1 0 , r – расстояние от центра шара до точки поля, Q – заряд шара, ϕшара
– его потенциал.
Из последней формулы найдем заряд Q шара
Q = k1 ϕ шара R .
Подставим его значение в формулу (3), а её, в свою очередь, в формулу (2). Полу- ченное выражение проинтегрируем, полагая, что r1 = 2R, r2 = 4R
4R |
Q |
|
4R |
ϕ шара R |
|
|
|
|
|
|
4R dr |
|
æ |
|
1 |
ö |
|
4R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(ϕ1 - ϕ2 ) = ò k |
|
|
dr = ò k |
|
|
2 |
|
dr |
= ϕ шара R ò |
|
|
|
= ϕ Rç |
- |
|
÷ |
|
. |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
2R |
r |
|
|
2R |
kr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2R r |
|
|
|
è |
|
r |
ø |
|
2R |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Итак |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 ö |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
(ϕ1 |
- ϕ |
2 ) = ϕ |
шара æ |
- |
|
|
+ |
= ϕ |
шара |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2R |
|
|
|
|
4R |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
4R ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Полученное выражение разности потенциалов точек 1 и 2 подставляем в формулу
(1) и находим работу внешних сил по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2
A* = 14 qϕ шара .
Проверим наименование работы в системе СИ
наимен.А* = Кл × В = Дж.
Подставим числовые значение величин и произведём вычисления
48
* |
= |
1,00 ×10−6 |
×1,00 ×103 |
= 2 |
,5 ×10 |
−4 |
Дж. |
A |
4 |
|
|||||
|
|
|
×10−4 Дж. |
||||
Ответ: внешние силы совершают работу A* = 2,5 |
|||||||
ЗАДАЧИ
231. Электростатическое поле создано длинным заряженным цилиндром ра- диус которого R = 1,00 см. Линейная плотность заряда τ = 20,0 нКл/м. Опреде- лить разность потенциалов ϕ двух точек этого поля, находящихся на силовой линии на расстояниях а1 = 0,50 см и а2 = 2,00 см от поверхности цилиндра в его средней части. Расчет провести с помощью формулы связи напряженности с из- менением потенциала электростатического поля.
232. Исходя из соотношения между напряженностью и изменением потен- циала электростатического поля, найти линейную плотность τ длинной заряжен- ной нити, если при перемещении заряда q = 1,00 нКл с расстояния r1 = 5,00 cм до r2 = 2,00 см в направлении, перпендикулярном нити, силы поля совершили работу
А = 50,0 мкДж.
233. Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, равномер- но заряженной с поверхностной плотностью σ = 1,00 нКл/м2. Определить раз- ность потенциалов ϕ между двумя точками этого поля, лежащими на силовой
линии на расстояниях х1 = 20,0 см и х2 = 50,0 см. Использовать соотношение меж- ду напряженностью и изменением потенциала электростатического поля.
234. Электростатическое поле создается шаром, радиус которого R = 8,00 см. Шар равномерно заряжен с объемной плотностью ρ = 10,0 нКл/м3. Применяя формулу связи напряженности поля с изменение его потенциала, вычислить раз- ность потенциалов ϕ двух точек, находящихся на расстояниях r1 = 10,0 см и r2 = 15,0 см от центра шара,
235. Шар, радиус которого R = 10,0 см, равномерно заряжен с объемной плотностью ρ = 20,0 нКл/м3. Определить разность потенциалов ϕ между точ-
ками, лежащими на радиусе шара на расстояниях r1 = 2,00 см и r2 = 8,00 см от его центра. Напряженность электростатического поля внутри заряженного шара вы- числяется по формуле Е = ρ r/3εо .
236. Электростатическое поле создается положительно заряженной беско- нечной нитью. Протон, двигаясь от нити под действием поля вдоль силовой ли- нии с расстояния r1 = 1,00 см до r2 = 5,00 см, изменил скорость от υ 1 = 1,00 Мм/с до υ 2 = 10,0 Мм/с. Определить линейную плотность τ заряда нити. Применить соотношение между напряженностью поля и изменением его потенциала.
237. Электростатическое поле создано бесконечной заряженной прямой ни- тью с равномерно распределенным зарядом (τ = 10,0 нКл/м). Определить кинети- ческую энергию W2к электрона в точке, находящейся на силовой линии поля на
49
расстоянии 3а от нити, если в точке, находящейся на этой же силовой линии на расстоянии а, его кинетическая энергия W1к = 200 эВ.
238. Тонкая прямая бесконечная нить несет равномерно распределенный за- ряд (τ = 0,10 мкКл/м). Определить работу сил электростатического поля А по пе- ремещению заряда q = 50,0 нКл из точки, находящейся на силовой линии на рас- стоянии а от нити, в точку, которая находится на той же линии на расстоянии 2а от нити, но по другую сторону от нее.
239. Бесконечно длинный прямой цилиндр заряжен с поверхностной плотно- стью σ = 76,0 нКл/м2. Радиус цилиндра R = 0,50 см. Найти разность потенциалов ϕ между точками, находящимися на силовой линии и удаленными от оси ци-
линдра на расстояния r1 = 1,00 cм и r2 = 2,00 см. Воспользоваться формулой связи напряженности и изменения потенциала электростатического поля. Напряжен-
ность поля вне заряженного бесконечно длинного полого цилиндра вычисляется по формуле Е = σ R/ε0 r.
240. В вакууме имеется скопление электрических зарядов в форме длинного цилиндра радиусом R = 2,00 см. Объемная плотность зарядов ρ = 2,00 мкКл/м3.
Используя связь напряженности и изменение потенциала электростатического поля, найти разность потенциалов между точками, лежащими на оси цилиндра и его поверхности. Напряженность поля внутри заряженного по объему бесконечно длинного цилиндра вычисляется по формуле Е = ρ r/2ε0 .
Рабочая программа Тема 14. Индуцированные заряды. Вычисление напряженности и потен-
циала электростатического поля при наличии проводников. Метод зеркальных изображений
Пример решения задач
Тонкое кольцо радиусом R =8,00 см имеет заряд Q = 25,0 нКл. Кольцо располо-
жено параллельно большой тонкой металлической пластине на расстоянии h = 3,00 см от неё. Найти: 1) поверхностную плотность заряда σ инд в точке пластины, расположенной симметрично относительно кольца; 2) потенциал ϕ электростатического поля в центре кольца.
Дано
Q = 25,0 нКл R =8,00 см h = 3,00 см
σ инд = ?
ϕ = ?
+Q
O R
h
−σ инд
ϕ = const
50