ZO-2008
.pdf
r = o
величина элемента площади dS = ldx, ( B^ n ) 0 ,
I = α t3, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
μ α ldx |
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dФ = |
|
t3 . |
|
|
|
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|||
Интегрируя это уравнение по х в пределах от r0 до |
I |
|
|||||||||||||||||||||
(r0 + b), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
B |
|
r +b |
|
r +b |
μ I ldx |
|
μ αl |
|
|
r +b |
dx |
|
i |
||||||||||||
o |
dФ = |
|
o |
|
= |
t |
3 |
o |
= |
|
n |
||||||||||||
ò |
|
ò |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
ò |
|
|
|
|
|||||||
ro |
|
|
ro |
|
2π x |
|
|
2π |
|
|
|
ro |
x |
|
|
|
l |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 ro +b dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ro |
|
|||||
|
μ0αl |
|
|
μ0αl |
|
3 |
|
|
ro + b |
|
|
|
b |
||||||||||
= |
2π |
t |
|
ò |
|
|
x |
= |
|
2π |
t |
|
ln |
|
r |
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ro |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
По закону Фарадея (1) определяем э.д.с. индукции |
|
|
|
||||||||||||||||||||
εi = - |
d |
æ |
μ0αl |
t |
3 |
ln |
ro + b ö |
= - |
3μ0αl |
ln |
ro + b |
t |
2 |
, |
|
|
ç |
2π |
|
|
÷ |
|
|
|
|||||||
dt |
|
r |
2π |
r |
|
||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
o |
ø |
|
|
|
o |
|
|
|
а по закону Ома для участка цепи (2) силу индукционного тока
|
Ii = |
εi |
= - |
3μ0αl |
ln |
ro + b |
t2 . |
|
||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2π R |
ro |
|
|
|
|
|||||
Проверим наименование силы тока в системе СИ |
|
|
|
|
||||||||||
|
наимен. Ii = |
В × с А × м× с2 |
= |
В × А |
= А . |
|||||||||
|
А × м |
|
с3 × Ом |
В |
|
|||||||||
Подставим числовые значения величин и проведем вычисления |
||||||||||||||
Ii = |
3 × 4π ×10−7 × 2,00 ×1,00 |
ln |
2,00 + 20,0 |
= 4,11×10−7 А. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
2π × 7,00 |
2,00 |
|
|
|
|||||||||
Ответ: сила индукционного тока в рамке Ii = 4,11·10–7 А.
ЗАДАЧИ
361. На расстояниях а = 10,0 см и b = 40,0 см от длинного проводника с то- ком I = 5,00 А расположены два параллельных ему провода, замкнутых на одном конце сопротивлением R = 200 Ом (см. рис. 35 приложения). По проводам без трения перемещают с постоянной скоростью υ = 50,0 м/с стержень-перемычку. Найти величину индукционного тока I инд в стержне.
362. Провод, согнутый в форме полуокружности радиуса R = 30,0 cм, враща- ют вокруг оси О–О′ с угловой скоростью ω = 100 рад/с в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,4 Тл (см. рис. 36 приложения). В момент времени t = 0, магнитный поток Ф через контур максимальный. Найти максимальную э.д.с. ин- дукции εинд в контуре.
91
363. Плоский контур, имеющий вид двух квадратов со сторонами а = 20,0 см и b = 10,0 см, находится в однородном магнитном поле (см. рис. 37 приложения).
Индукция магнитного поля, вектор которой В перпендикулярен плоскости кон- тура, меняется по закону В = В0 sinω t, где В0 = 10,0 мТл и ω = 100 рад/с. Найти амплитуду э.д.с. индукции εинд в контуре.
364. На длинный прямой соленоид, имеющий диаметр сечения D = 5,00 см и содержащий n = 20 витков на один сантиметр длины, плотно надет круговой про- водящий виток. Ток в обмотке соленоида увеличивается с постоянной скоростью dI/dt = 100 А/с. Найти э.д.с. индукции εинд в витке.
365. Индукция магнитного поля изменяется по закону В = (α + β t2 )ιr , где α = 0,10 Тл, β = 0,01 Тл/с2, ι – единичный вектор оси ОХ. В поле расположена плоская рамка в виде равностороннего треугольника со стороной а = 20,0 см. Плоскость рамки перпендикулярна вектору индукции магнитного поля В . Опре- делить э.д.с. индукции εинд в рамке в момент времени t = 5,00 с.
366. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,50 Тл вращается с час- тотой n = 10 с–1 стержень длиной l = 20,0 см. Ось вращения параллельна вектору
магнитной индукции В и |
проходит через один из концов стержня |
перпендику- |
лярно его оси. Определить |
разность потенциалов ϕ (εинд) на концах |
стержня. |
367. Между двумя длинными параллельными токами в одной плоскости с ними расположены параллельные шины. По ним со скоростью υ = 3,00 м/с. дви- жется проводник длиной l = 0,20 м (см. рис. 32 приложения). Токи I1 = I2 = 40,0 А и текут в противоположных направлениях. Расстояние от каждой шины до бли- жайшего тока а = 1,00 см. Найти э.д.с. индукции εинд, возникающей в проводнике
368. Квадратная рамка со стороной а = 1,00 м и длинный прямой провод с то- ком I = 10,0 А лежат в одной плоскости (см. рис. 33 приложения). Рамку поступа- тельно перемещают вправо со скоростью υ = 100 м/с. Найти э.д.с. индукции εинд в рамке в момент времени, когда она оказалась на расстоянии r = 1,00 м от провода.
369. Металлический диск радиусом R = 25,0 см, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ω = 130 рад/с. Диск помещают в однородное
внешнее магнитное поле так, что вектор индукции В перпендикулярен к плоско- сти диска. Найти разность потенциалов ϕ между центром и ободом диска, если
величина индукцией В = 5,00 мТл.
370. Длинный прямой проводник с током I = 20,0 А и П-образный проводник с подвижной перемычкой расположены в одной плоскости (см. рис. 34 приложе- ния). Перемычку, длина которой l = 1,00 м, перемещают вправо с постоянной ско- ростью υ = 50,0 м/c. Найти э.д.с. индукции εинд в контуре в момент времени, когда перемычка оказалась на расстоянии r = 2,00 м от проводника.
92
|
|
|
Рабочая программа |
|
|
|||
Тема 26. Явление и закон электромагнитной индукции при замыкании и |
||||||||
размыкании электрической цепи |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Пример решения задач |
|
|
|||
Катушка индуктивностью L = 1,50 Гн и сопротивлением R1 = 15,0 Ом и лампа |
||||||||
сопротивлением R2 = 150 Ом соединены параллельно и подключены через ключ К |
||||||||
к источнику тока, электродвижущая сила которого ε = 60,0 В. Определить на- |
||||||||
пряжение на зажимах катушки через t = 0,01 с после размыкания цепи. |
|
|||||||
Дано |
|
|
|
Анализ и решение |
|
|
||
L = 1,50 Гн |
При установившемся режиме сила тока I0 в электрической це- |
|||||||
R1 = 15,0 Ом |
пи равна сумме сил токов, текущих через катушку индуктивности |
|||||||
R2 = 150 Ом I1 и лампу I2, причем по закону Ома |
|
|
||||||
t = 0,01 с |
|
|
|
I1 = |
ε . |
|
(1) |
|
ε = 60,0 В |
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
UL – ? |
При размыкании ключа К ток I1 начнет убывать и, согласно закону |
|||||||
Фарадея, в катушке возникает э.д.с. самоиндукции |
|
|
||||||
|
|
|
|
dI |
|
|
|
|
|
|
|
εsi = -L dt |
, |
|
|
||
которая препятствует исчезновению силы тока. Э.д.с. самоиндукции возникает |
||||||||
только в катушке, так как лампа и подводящие провода считаются безыиндуктив- |
||||||||
ными. После отключения источника замкнутую цепь составят катушка индуктив- |
||||||||
ности L и лампа Л, соединенные теперь последовательно. В момент времени t = 0, |
||||||||
соответствующий моменту размыкания, сила тока в этой цепи одинакова и равна |
||||||||
установившейся силе тока I1 в катушке (ток в лампе исчезает мгновенно). Раз- |
||||||||
ность потенциалов на концах катушки индуктивности |
|
|
||||||
после отключения источника в любой момент времени |
|
|
||||||
|
UL = IR2 , |
|
(2) |
L, R1 |
|
|||
где I – текущее значение силы тока, зависящее от |
|
|
||||||
времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид зависимости силы тока I от времени t может |
|
|
||||||
быть найден из закона Ома для замкнутой цепи. |
Л |
|
||||||
I = |
ε si |
|
Þ ε si = I( R1 |
+ R2 ). |
|
|
||
|
К |
|
|
|||||
( R1 + |
R2 ) |
– |
+ |
|||||
Или |
|
|
||||||
|
|
-L dI |
= I ( R + R ). |
ε |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dt |
1 |
2 |
|
|
|
После разделения переменных это уравнение примет вид |
|
|
||||||
|
|
|
dI = - R1 + R2 |
dt . |
|
|
||
|
|
|
I |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
93 |
|
|
|
|
При t = 0 ток в катушке I = I1 (установившаяся сила тока в катушке индуктивно- сти). Интегрируем последнее уравнение в пределах от t = 0 до некоторого t, когда сила тока принимает значение I, получаем
I |
|
|
R1 + R2 |
|
t |
|
I |
|
|
|
R1 + R2 |
|
|
t . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ò |
dI |
|
= − |
|
òdt , ln I |
|
|
|
|
= − |
|
t |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
I |
|
L |
|
I |
|
|
L |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
I1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Подставив пределы интегрирования, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ln |
I |
|
= − |
R1 + R2 |
t Þ I = I1 exp(− |
|
R1 + R2 |
t) . |
||||||||||||||||
Io |
|
|
|
L |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Учитывая формулы (1) и (2), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
UL = ε |
|
R2 |
exp(− |
R1 + R2 |
t) . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставим числовые значения заданных величин и произведём вычисления
UL = 60 |
150 |
exp(− |
15,0 + 150 |
0,01) = 200 В. |
|
15,0 |
1,50 |
||||
|
|
|
Как видно из полученного результата, разность потенциалов на очень корот- кое время значительно превышает э.д.с. источника. Значит, в момент размыкании цепи лампа должна ярко вспыхнуть, что и наблюдается в действительности.
Ответ: напряжение UL на зажимах катушки через t = 0,01 с после размыкания цепи равно 200 В.
ЗАДАЧИ
371. Электрическая лампочка сопротивлением R = 10,0 Ом, подключается через дроссель к аккумулятору, э.д.с. которого ε = 12,0 В. Индуктивность дроссе- ля L = 2,00 Гн, сопротивление R0 = 10,0 Ом. Вывести формулу для силы тока I в такой электрической цепи при ее замыкании и найти время t, по истечении кото- рого лампочка загорится. Начинает светиться лампа при напряжении U = 6,00 В.
372. Соленоид индуктивностью L = 0,20 Гн и сопротивлением R = 1,64 Ом включен в цепь с источником э.д.с. Вывести формулу для силы тока I в цепи по- сле того как источник отключили, а соленоид замкнули накоротко. Во сколько раз уменьшится ток в соленоиде через время t = 0,05 с?
373. Соленоид сопротивлением R = 1,00 Ом и индуктивностью L = 2,00 мкГн подключен к источнику тока с э.д.с. ε = 3,00 В. Параллельно соленоиду вклю- чено сопротивление R0 = 2,00 Ом. Вывести формулу для силы тока I в соленоиде после размыкания цепи и найти количество тепла Q, выделившееся в нем.
374. Соленоид сопротивлением R = 5,00 Ом и индуктивностью L = 0,30 Гн соединили с источником тока внутреннее сопротивление которого r = 1,00 Ом, и э.д.с. ε = 30,0 В. Какой электрический заряд Q пройдет по соленоиду, если его
94
выводы соединить накоротко? Для расчета вывести формулу для силы тока I, воз- никающего в такой электрической цепи.
375. В электрической цепи, содержащей резистор R = 20,0 Ом и соленоид ин- дуктивностью L = 0,06 Гн, течет ток I0 = 20,0 А. Вывести формулу и рассчитать ток I в цепи через t = 0,20 мс после ее размыкания.
376. Электрическая цепь состоит из соленоида индуктивностью L = 0,10 Гн и источника тока. Источник тока отключили, не разрывая цепи. Время, через кото- рое сила тока уменьшилась до 0,001 первоначального значения, равно t = 0,07 с. Определить сопротивление R соленоида.
377. Источник тока замкнули на соленоид сопротивлением R = 10,0 Ом и ин- дуктивностью L = 0,20 Гн. Вывести формулу для расчета силы тока I в такой электрической цепи и найти время t, по истечению которого он достигает 50% максимального значения?
378. Дроссель индуктивностью L = 8,00 Гн и сопротивлением R1 = 40,0 Ом соединен параллельно с лампой сопротивлением R2 = 200 Ом. Дроссель и лампа подключены к источнику с э.д.с. ε = 120 В через ключ. Вывести формулу для
расчета силы тока I в такой электрической цепи при ее размыкании и определить разность потенциалов ϕ на зажимах дросселя через t = 0,01 с.
379. В электрической цепи, схема которой изображена на рис. 38 приложе-
ния, R1 = 5,00 Ом, R2 = 95,0 Ом, L = 0,34 Гн. Э.д.с. источника ε = 38,0 В, его внутреннее сопротивление мало. Вывести формулу и найти силу тока I в резисто- ре R2 через t = 0,01с после размыкания цепи.
380. Источник тока замкнули на соленоид сопротивлением R = 20,0 Ом. Че- рез время t = 0,10 с ток I в нем достиг 0,95 предельного значения. Вывести фор- мулу для расчета силы тока I в такой цепи и найти индуктивность L соленоида.
Рабочая программа Тема 27. Энергия и плотность энергии магнитного поля
Пример решения задач
По цилиндрическому медному проводнику течет электрический ток I = 100 A. Считая проводник очень длинным, найти энергию магнитного поля Wмаг сосре- доточенного внутри участка проводника длиной l = 1,00 м.
Дано |
Анализ и решение |
I = 100 A |
Вследствие большой длины проводника магнитным полем |
l = 1,00 м |
подводящих проводов можно пренебречь и считать, что внутри про- |
Wмаг = ? |
водника магнитное поле обладает осевой симметрией. Это значит, |
95
что линии индукции имеют форму окружностей с центром на оси проводника и плоскость любой из них перпендикулярна оси. Симметричность поля позволяет
применить для расчета В теорему о циркуляции индукции магнитного поля
O |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
j |
|
|
r |
dr |
dS |
|
|
|
|||
r |
l0 |
R |
О |
|
dl |
L |
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
O
ò |
r r |
N |
|
|
= μ0 åIi , |
(1) |
|
!Bdl |
|||
L |
|
i=1 |
|
здесь учтено, что магнитная проницаемость μ меди постоянна и практически рав- на единице.
Энергия магнитного поля в объёме V = π R2l0 , где l0 – произвольная длина участка проводника,
|
|
|
|
Wмаг = òωмагdV , |
(2) |
|
|
|
|
V |
|
где ωмаг = |
dW |
= |
B2 |
|
|
|
|
– плотность энергии магнитного поля. |
|
||
dV |
|
|
|||
|
|
2μ0 |
|
||
Выберем контур интегрирования L в форме окружности, совпадающей с од- ной из линий индукции, радиус которой r < R. Если направление обхода контура
совпадает с направлением линий индукции, то ( B^ dl ) = 0 и В = const во всех
точках контура интегрирования. Тогда |
ò |
|
ò |
|
|
!Bdl |
= !Bdl = B2π r . |
(3) |
L |
L |
|
Если плотность тока j постоянна по поперечному сечению проводника, сумма токов, сцепленных с контуром интегрирования,
N I = jS = I π r2 .
åi =1 i L π R2
то
(4)
Подставим выражения (3) и (4) в (1):
B2π r = μ0 π RI 2 π r2 ,
откуда
96
B = |
μ0 Ir |
. |
(5) |
|
|||
|
2π R2 |
|
|
Элементарный объём dV в выражении (2) должен быть таким, чтобы в нем плотность энергии а следовательно, и индукция магнитного поля оставались по- стоянными. Этому условию удовлетворяет часть цилиндра высотой l0 и площадью основания dS = dldr = rdϕ dr (см. рисунок)
dV = rdϕ dr l0 .
Тогда подынтегральное выражение в равенстве (2) с учетом (5) будет
ω |
|
æ |
μ |
0 |
I 2r |
2 |
ö |
|
. |
|
маг |
dV = ç |
|
2 |
|
4 |
÷rdr dϕ l |
0 |
|||
|
ç |
8π |
R |
÷ |
|
|||||
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|||
Вся энергия магнитного поля, сосредоточенного внутри участка проводника согласно формуле (2):
|
μ0 I 2l0 |
|
R |
3 |
2π |
μ0I 2l0 r4 |
|
R |
|
2π |
|
μ0I 2l0 |
R4 |
|
μ0I |
2l0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Wмаг = |
|
|
|
|
|
òr |
|
|
dr ò dϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
. |
8π |
2 |
R |
4 |
|
|
|
8π |
2 |
R |
4 |
|
|
4 |
|
0 |
|
0 |
4π R |
4 |
4 |
16π |
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Проверим наименование полученной величины в системе СИ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
наимен. W = |
В × с× А2 × м |
|
= Вт × с = Дж . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
м× А |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Подставим численные значения данных величин и сделаем расчет |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
W = |
|
4π ×10−7 ×1002 ×1,00 |
= 2,50 ×10−4 Дж. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: энергия магнитного поля внутри медного проводника 2,50·10–4 Дж.
97
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 4
Студент–заочник должен решить семь задач того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой его шифра (табл. 4).
Таблица 4
Вариант |
|
|
|
|
Номера задач |
|
|
|
|
|
0 |
410 |
420 |
430 |
440 |
450 |
460 |
470 |
|
|
|
1 |
401 |
411 |
421 |
431 |
441 |
451 |
461 |
|
|
|
2 |
402 |
412 |
422 |
432 |
442 |
452 |
462 |
|
|
|
3 |
403 |
413 |
423 |
433 |
443 |
453 |
463 |
|
|
|
4 |
404 |
414 |
424 |
434 |
444 |
454 |
464 |
|
|
|
5 |
405 |
415 |
425 |
435 |
445 |
455 |
465 |
|
|
|
6 |
406 |
416 |
426 |
436 |
446 |
456 |
466 |
|
|
|
7 |
407 |
417 |
427 |
437 |
447 |
457 |
467 |
|
|
|
8 |
408 |
418 |
428 |
438 |
448 |
458 |
468 |
|
|
|
9 |
409 |
419 |
429 |
439 |
449 |
459 |
469 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рабочая программа Тема 28. Свободные гармонические механические колебания. Амплиту-
да, круговая частота и фаза колебаний
Пример решения задач
Найти время, за которое материальная точка, совершающая гармонические ко- лебания, прошла: путь S1 от среднего положения до крайнего? первую половину этого пути? вторую половину этого пути? Начальная фаза колебаний:
π
1) ϕ01 = 0; 2) ϕ02 = 2 .
|
Дано |
|
|
|
Анализ и решение |
|
|
|
|
|
|
Материальная точка совершает гармонические колебания |
|||
S1 = X0 |
|
|
|
||||
|
|
|
по закону |
|
|||
S2= X0/2 |
|
|
|
x = X0 sin(ω0t + ϕ0 ) , |
(1) |
||
S3 = X0/2 |
|
|
|
где х – смещение колеблющейся точки, отсчитанное от поло- |
|||
|
|
|
жения равновесия, Х0 – амплитуда колебаний (максимальное |
||||
|
|
|
|
|
π |
||
ϕ |
01 |
= 0, ϕ |
02 |
= |
смещение), ω0 = 2π / T – круговая (циклическая) частота, |
ϕ0 |
|
|
|
|
2 |
– начальная фаза в момент времени t = 0, (ω0t + ϕ0 ) – фаза |
|
||
t1, t2, t3 = ? |
|
|
|
||||
|
|
колебаний в момент времени t. Фаза колебаний определяет |
|
||||
98
значение колеблющейся величины в данный момент времени. Т – период колеба- ний, промежуток времени, когда фаза колебания получает приращение 2π ,
Если ϕ01 = 0, то в начальный момент времени материальная точка находится
в положении равновесия, то есть х(0) = 0. Путь, пройденный точкой за время t ≤ Т/4 (см. рисунок)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = х(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||
При t > Т/4 точка, дойдя до координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
Х |
|||||||||||||||||||||||||
х = Х0 начнет двигаться к началу координат, |
|
|
|
-Х0 |
|
|
|
О |
υ |
|||||||||||||||||||||||||||
то есть в сторону, противоположную началь- |
|
|
|
|
|
|
+Х0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
ному движению, и тогда выражение (2) будет несправедливо. |
|
х(t) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставим в уравнение (2) путь S = X0, координату х(t) выражаем из уравне- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ния (1) и учитывая, что ϕ01 = 0, получим: |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
= X |
|
sin |
|
|
t , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
T |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin |
2π |
t |
|
= 1 Þ |
|
2π |
t |
|
= π |
|
Þ t = |
T |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
T 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Для первой половины пройденного пути S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X0 |
= X |
0 |
sin |
|
2π |
t |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2π |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|||||||||||
sin |
|
t2 |
= |
|
|
Þ |
|
|
|
|
t2 |
= 6 |
|
Þ t2 = |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
T |
2 |
|
T |
|
|
|
12 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Время, необходимое для прохождения материальной точки второй половины |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пройденного пути от положения равновесия до крайнего положения, равно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
= t - t |
|
|
= |
|
T |
- |
T |
|
= |
T |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, двигаясь |
|
из |
|
|
положения |
равновесия, колеблющаяся точка |
||||||||||||||||||||||||||||||
проходит расстояние S = X0 за время t1 = T/4, причем первую половину этого пу- ти она проходит за время t2 = T/12, вторую – t3 = T/6, то есть вдвое медленнее.
Если ϕ02 = π2 , то в начальный момент времени движущаяся материальная
точка находится в крайнем положении, то есть х(0) = Х0, скорость точки υx = 0. С
увеличением времени координата х уменьшается, а путь, пройденный точкой (см. рисунок), находится по формуле
|
|
S = X0 – x(t). |
|
|
(3) |
|
Подставим в уравнение (3). S = X0, |
|
|
S |
|||
координату х(t) выражаем из (1) с учетом |
|
|
Х |
|||
-Х0 |
О |
υ +Х0 |
||||
того, что ϕ02 |
= π |
, получим: |
||||
|
|
х(t) |
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
99
|
X |
|
= X |
|
- X |
|
|
sin( |
2π |
t |
+ |
|
π ) Þ sin( |
2π |
t |
|
+ |
π ) = 0, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
откуда |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
T |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
π Þ t = |
T |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
( |
t + |
) = π Þ |
t = |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
Для первой половины пройденного пути S =X0/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X0 |
= X |
0 |
- X |
0 |
sin( |
2π |
t |
2 |
+ |
π ) Þ sin( |
|
2π |
t |
2 |
+ |
π ) = |
1 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
откуда |
|
|
2π |
|
|
π |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π Þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
t2 + |
|
2 ) = |
|
|
|
|
|
t2 = 3 |
Þ t2 |
= |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
T |
|
6 |
|
T |
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Время, необходимое для прохождения материальной точки второй половины |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пройденного пути при её движении из крайнего положения, равно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
= t - t |
|
|
= |
|
T |
- |
T |
|
= |
T |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Таким образом, двигаясь из крайнего положения, колеблющаяся точка про- ходит расстояние S = X0 за время t1 = T/4, причем первую половину этого пути она проходит за время t2 = T/6, вторую – t3 = T/12, то есть вдвое быстрее.
ЗАДАЧИ
401. Материальная точка, совершающая гармонические колебания, в некото- рый момент времени имеет смещение х = 0,04 м, скорость υ = 0,05 м/с и ускоре- ние а = 0,80 м/с2. Определить: 1) амплитуду Х0 и период Т0 колебаний; 2) ее фазу колебаний ϕ в рассматриваемый момент времени; 3) максимальные скорость
υ max и ускорение аmax, 4) время прохождения пути S = X0/2 при движении матери- альной точки из положения равновесия.
402. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой Х0 = 0,02 см и частотой ν 0 = 500 Гц. Определить средние и максимальные значе-
ния скорости υ и ускорения а точки при её движении из крайнего положения до положения равновесия.
403. За какую часть периода Т0 материальная точка, совершающая гармони- ческие колебания, пройдет путь, равный: 1) половине амплитуды Х0/2, если в на- чальный момент она находилась в положении равновесия; 2) одной трети ампли- туды Х0/3, если в начальный момент времени она была в крайнем положении?
404. Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси Х. Через t = 0,10 с от начала движения смещение точки от положения равновесия стало х1 = 5,00 см, скорость – υ 1 = 62,0 см/с, ускорение – а1 = – 540 см/c2. Опреде- лить: амплитуду Х0, циклическую частоту ω0 и начальную фазу ϕ0 колебаний.
405. Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси Х с периодом Т0 = 0,60 с и амплитудой Х0. За какое время t, считая от начала движе-
100