2.9. Элементарные операции машинного математического моделирования

Для экспериментального исследования динамических свойств СУ широко применяется машинное моделирование, осуществляемое на различных видах ЭВМ. Используются два основных метода машинного моделирования: метод аналогового моделирования, реализуемый на АВМ, и метод цифрового моделирования, реализуемый на ЦВМ.

При аналоговом моделировании решение динамической задачи воспроизводится в виде электрического переходного процесса, адекватного свойствам исследуемой СУ. Результат решения наблюдают на экране осциллографа или регистрируют с помощью записывающих приборов.

Цифровое моделирование заключается в выполнении определенной последовательности вычислительных процедур, соответствующих решению дифференциальных уравнений системы. Результат решения получается на экране дисплея или выводится на печатающее устройство.

При аналоговом и цифровом моделировании систем управления наиболее широко применяется методика структурного моделирования, согласно которой в машинной модели воспроизводится физическая структура исследуемой системы, расчлененная на элементарные математические операции (интегрирование, умножение на постоянный коэффициент, суммирование и др.). Эти элементарные операции реализуются при аналоговом моделировании на операционных усилителях, а при цифровом – соответствующими программами вычислений.

Ниже описаны основные операционные элементы, используемые при аналоговом моделировании линейных систем.

Рис. 2.15. Операционные элементы аналоговых моделей:

а – потенциометр; в – операционный усилитель; д – операционный усилитель

интегрирующий; б, г, е – соответствующие условные обозначения элементов

Простейшим элементом аналоговой модели является потенциометр (рис. 2.15,а), умножающий входное напряжение u_x на постоянный коэффициент α:

(2.96)

где – коэффициент, который можно изменять от 0 до 1. На схемах модели потенциометр изображается в виде кружочка (рис. 2.15,б).

Основным элементом при аналоговом моделировании служит операционный (решающий) усилитель – электронный усилитель постоянного тока с большим коэффициентом усиления (k=10⁴...10⁶), охваченный отрицательной обратной связью. Характер математических операций, выполняемых таким усилителем, зависит от операторных сопротивлений Z_вх(p) и Z_о.с(p), включенных на входе и в обратную связь усилителя. Передаточная функция операционного усилителя, связывающая входное и выходное напряжения,

(2.97)

где знак минус указывает, что одновременно с математическим преобразованием входного сигнала усилитель меняет его полярность на противоположную.

Так, если на входе и в обратную связь включены активные сопротивления r₁ и r₂ (рис. 2.15,в), то операционный усилитель выполняет функции масштабного блока – умножает входной сигнал u_x на постоянный коэффициент

(2.98)

который можно изменять в широких пределах. Условное обозначение масштабного усилителя показано на рис. 2.15,г.

В частном случае, когда r₁= r₂ и k_вх = -1, масштабный усилитель используется как инвертор только для изменения полярности входного сигнала.

Если на входе стоит резистор r₁, а обратная связь образована емкостью С с операторным сопротивлением (рис. 2.15,д), то операционный усилитель является интегратором с передаточной функцией

(2.99)

Условное обозначение интегратора показано на рис. 2.15,е. Коэффициент характеризует скорость интегрирования входного сигнала.

Масштабный и интегрирующий усилители могут одновременно выполнять суммирование нескольких входных сигналов. При таком совмещении основной функции усилителя и функции суммирования операторное сопротивление обратной связи для всех суммируемых сигналов всегда одинаково, а входные сопротивления для отдельных сигналов могут быть различными. Поэтому коэффициенты k_вх для отдельных масштабируемых или интегрируемых слагаемых также могут быть разными.