2.3. Статические характеристики элементов

Передаточные свойства элементов и систем в статическом режиме описывают при помощи статических характеристик. Статической характеристикой элемента называют зависимость его выходной величины y от входной величины x

(2.9)

в установившемся статическом режиме.

Статическая характеристика конкретного элемента может быть задана в формульном виде (например, в виде алгебраической функции y = cx²) или в виде графика (рис. 2.4,а).

Рис. 2.4. Статические характеристики элементов с одной (а)

и двумя (б, в) входными величинами

В общем случае, когда состояние элемента или системы зависит от нескольких входных воздействий x₁, x₂, …, x_m, то статическая характеристика представляет собой функцию нескольких независимых переменных

(2.10)

Функция двух переменных x₁ и x₂ может быть изображена в виде поверхности в трехмерном пространстве с декартовыми координатами y, x₁, x₂ (рис. 2.4,б) или в виде семейства линий сечений этой поверхности, соответствующих нескольким фиксированным значениям одного из аргументов (рис. 2.4,в).

Так как статический режим является частной формой динамического режима, то соответствующая статическая характеристика может быть получена как частный вид дифференциального уравнения. Для этого необходимо в дифференциальном уравнении элемента приравнять все производные по времени нулю (что соответствует определению понятия статический режим) и тогда получим уравнение статики элемента.

Большинство конструктивных элементов систем в статическом режиме характеризуется строгими однозначными соотношениями между значениями входной и выходной величин (рис. 2.5,а, б, в). Эти элементы называют статическими, или позиционными.

Рис. 2.5. Виды статических характеристик

Но некоторые элементы систем не обладают определенными передаточными свойствами в статическом режиме: при различных значениях входной величины x выходная величина y может принимать одно и то же значение (рис. 2.5,г), или, наоборот, при одном и том же значении x величина y может принимать любые значения (рис. 2.5,д). Такие элементы называют астатическими. К ним относятся, например, интегрирующие звенья, которые будут описаны в главе 3.

По виду статических характеристик элементы делят на линейные и нелинейные. Статическая характеристика линейного элемента (см. рис. 2.5,б) описывается линейной функцией y = b + ах. У нелинейных элементов связь между входной и выходной величинами выражается обычно в виде степенных функций, степенных полиномов, дробных рациональных и более сложных функций.

На рис. 2.6 показаны примеры линейного элемента – двигателя постоянного тока с независимым постоянным возбуждением (а) и нелинейного – генератора постоянного тока с неменяющейся частотой вращения якоря (в) и их статические характеристики – соответственно по каналу «u_я – n» (б) и по каналу «i_в-e_г» (г).

Рис. 2.6. Примеры линейного (а, б) и нелинейного (в, г) элементов

Нелинейные элементы, в свою очередь, подразделяют на элементы с существенно нелинейной статической характеристикой и элементы с несущественно нелинейной (линеаризуемой) характеристикой.

Статическая характеристика является несущественно нелинейной, если она описывается непрерывной дифференцируемой функцией. Практически это математическое условие означает, что график функции y = f(x) должен иметь гладкую форму (см. рис. 2.4,a). В ограниченном диапазоне изменения входной величины x такая характеристика может быть приближенно заменена (аппроксимирована) линейной функцией. Приближенная замена нелинейной функции линейной называется линеаризацией. Линеаризация нелинейной характеристики правомерна, если в процессе работы элемента его входная величина меняется в небольшом диапазоне вокруг некоторого значения x = x₀.

Статическая характеристика считается существенно нелинейной, если она имеет изломы или разрывы. На рис. 2.5,в в качестве примера приведена характеристика реле, которое при достижении входного сигнала x (ток в обмотке реле) некоторого значения x₁ изменит выходной сигнал y (напряжение в коммутируемой цепи) с уровня y₁ до уровня y₂. Замена такой характеристики прямой линией с постоянным углом наклона привела бы к существенному несоответствию между математическим описанием элемента и реальным физическим процессом, происходящим в элементе.

Линеаризацию гладких статических характеристик можно осуществлять либо по методу касательной, либо по методу секущей.

Линеаризация по методу касательной заключается в разложении функции y(x) в интервале вокруг некоторой точки x₀ в ряд Тейлора и в последующем учете первых двух членов этого ряда:

(2.11)

где y′(x₀)=f(x₀) - значение производной функции f(x) в заданной рабочей точке А с координатами x₀ и y₀. Геометрический смысл такой линеаризации заключается в замене кривой f(x) касательной ВС, проведенной к кривой в точке (рис. 2.7,а).

При расчете систем управления удобно линеаризованные статические характеристики вида (2.11) рассматривать в отклонениях переменных y и x от значений y₀ и x₀:

(2.12)

или (2.13)

где Δx = x -x₀, Δy = y -y₀, k = y′(x₀). Следовательно, переход от записи (2.12) к записи (2.13) уравнения статики соответствует переходу от исходной системы координат x0y к системе ΔxAΔy.

Рис. 2.7. Линеаризация статических характеристик проведением

касательной (а) и секущей (б)

Коэффициент пропорциональности k между отклонениями входной и выходной величин в статическом режиме называют передаточным коэффициентом. Передаточный коэффициент является основным параметром линейных и линеаризованных элементов статического типа: его числовое значение полностью характеризует передаточные свойства элемента в статике.

Размерность передаточного коэффициента равна отношению размерности выходной величины к размерности входной величины

(2.14)

Например, у электрического двигателя передаточный коэффициент по каналу «напряжение - частота вращения» имеет размерность (об/с)/В.

Если исходная статическая характеристика задана в формульном виде, то передаточный коэффициент находят как значение производной в рабочей точке

(2.15)

а если характеристика задана графически, то передаточный коэффициент может быть определен как тангенс угла α наклона касательной (см. рис. 2.7,а)

(2.16)

где m_y, m_x – масштабные коэффициенты величин y и x.

Линеаризация может быть выполнена и в том случае, если выходная величина является гладкой функцией нескольких переменных. Линеаризованная статическая характеристика в отклонениях будет иметь вид

(2.17)

где k₁, k₂, …, k_m – передаточные коэффициенты, равные значениям частных производных вида (2.15) функции (2.10) в рабочей точке (y₀, x₁₀, x₂₀, …, x_m0).

Линеаризацию по методу секущей осуществляют непосредственно на графике – проведением прямой линии (на рис. 2.7,б линия BC) таким образом, чтобы в некотором заданном диапазоне изменения аргумента x спрямленная характеристика была в среднем как можно ближе к исходной линеаризуемой характеристике f(x). При этом передаточный коэффициент линеаризованной характеристики определяют как отношение соответствующих друг другу приращений:

(2.18)

Формулой (2.18) для определения коэффициента k можно пользоваться и при применении метода касательной.

Метод секущей можно использовать и при аналитическом решении задачи линеаризации. При этом указанное выше нестрогое условие близости линеаризованной характеристики к исходной формализуется в виде критерия минимума суммы квадратов отклонений. В заключение отметим, что линеаризация по методу касательной дает хорошее совпадение вблизи рабочей точки и худшее у границ рабочей зоны, а аппроксимирующая прямая, полученная по методу секущей (наименьших квадратов), имеет меньшее среднее расхождение с исходной характеристикой, хотя ее наклон может и не совпадать с наклоном кривой в рабочей точке.

Пример. Линеаризуем нелинейную статическую характеристику p = f(q) (рис. 2.8,б) расходомера газа (рис. 2.8,а), состоящего из шайбы Ш в трубопроводе и дифференциального манометра ДМ. Из аэромеханики из­вестно, что перепад давлений р = р₁ - р₂ (Н/м²) на шайбе, сужающей площадь сечения трубопровода, связан с расходом q (м³/с) квадратичной зависимостью

(2.19)

где c – постоянный коэффициент; в дальнейшем принято с=100 (Н/м²)/(м³/с).

Рис. 2.8. Пример линеаризации нелинейного элемента

Линеаризацию осуществим в заданной точке q₀ = 7 м³/с и p₀ = 4,9∙10³ Н/м². Передаточный коэффициент определим по формуле (2.15) как производную функции (2.19) в заданной точке

(2.20)

Теперь можно записать линеаризованные уравнения статики расходомера в абсолютных значениях

(2.21)

или в отклонениях

(2.22)

справедливы в заданной точке.

Передаточный коэффициент k можно определить по графику на рис. 2.8,б – проведением касательной к точке A.