2.2. Временные характеристики сигналов и типовых воздействий

Большое разнообразие конструкций и условий работы СУ определяет многообразие сигналов и воздействий, наблюдаемых в системах. Изучение и математический анализ конкретных систем существенно упрощаются, если пользоваться принятой в теории управления типизацией сигналов и воздействий.

Рассмотрим основные разновидности сигналов и воздействий. В зависимости от характера изменения сигнала во времени и от формы его математического представления, различают регулярные и нерегулярные сигналы.

Регулярный (детерминированный) сигнал изменяется по определенному закону и может быть описан конкретной математической функцией времени. К классу регулярных сигналов относятся различные периодические сигналы и непериодические импульсы конечной длительности. На рис. 2.2,а в качестве примера регулярного сигнала показан импульс, описываемый экспонентой.

Нерегулярный (случайный) сигнал изменяется во времени случайным образом и не может быть представлен в виде конкретной математической функции. Характер изменения случайного сигнала во времени показан на рис. 2.2,б. Свойства случайных сигналов можно описать только при помощи понятий и методов теории вероятностей и математической статистики.

Если значение регулярного или случайного сигнала определено в каждый момент времени (рис. 2.2,в), то сигнал называют непрерывным, или аналоговым. Если же значения сигнала заданы лишь в некоторые моменты времени (рис. 2.2,г), то его называют дискретным.

Рис. 2.2. Виды сигналов (а, б, в, г) и типовых воздействий (д, е, ж, з)

При экспериментальном и теоретическом исследовании СУ и их элементов используют ряд стандартных сигналов, называемых типовыми воздействиями. Эти воздействия описываются простыми математическими функциями и легко воспроизводятся при испытании систем. Использование типовых воздействий позволяет унифицировать расчеты различных систем и облегчает сравнение передаточных свойств систем.

Наибольшее применение в теории и практике автоматического управления находят следующие четыре типовые воздействия: ступенчатое, импульсное, гармоническое и линейное.

Ступенчатое воздействие – это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным (рис. 2.2,д). Ступенчатому воздействию соответствует функция

(2.1)

При анализе и расчете систем удобно использовать ступенчатое воздействие, у которого величина a₀ = 1. Его называют единичным ступенчатым воздействием (единичным скачком) и обозначают 1(t) или σ(t). Математическое выражение, описывающее единичный скачок, имеет вид

(2.2)

Любое неединичное ступенчатое воздействие можно обозначить a₀1(t). Единичное ступенчатое воздействие, возникающее в момент времени t = t₁, обозначают 1(t – t₁).

Ступенчатые воздействия чаще всего используют при испытаниях и расчетах систем стабилизации, так как эти воздействия наиболее близки к реальным входным (задающим и возмущающим) воздействиям систем стабилизации.

Импульсное воздействие представляет собой одиночный импульс прямоугольной формы (рис. 2.2,е), имеющий достаточно большую высоту α₀/τ_и и весьма малую (по сравнению с инерционностью испытываемой системы) продолжительность τ_и → 0. Очевидно, что площадь такого импульса всегда равна a₀.

При математическом анализе систем управления используют единичное импульсное воздействие, которое описывается так называемой дельта-функцией, или функцией Дирака

(2.3)

причем

(2.4)

Согласно выражениям (2.3) и (2.4), дельта-функцию можно рассматривать как импульс, имеющий бесконечно большую высоту, бесконечно малую длительность и единичную площадь. Дельта-функцию можно определить как производную единичного скачка:

(2.5)

В качестве стандартного гармонического воздействия используют обычно сигнал синусоидальной формы, описываемый функцией

(2.6)

где x_m – амплитуда сигнала; ω = 2π/Т – круговая частота, рад/с; Т – период сигнала, с.

Гармонический сигнал, начинающий действовать в момент времени t = 0 (рис. 2.2,ж), описывают при помощи единичной ступенчатой функции

(2.7)

Гармонические воздействия (2.6) и (2.7) широко используются при исследовании точности и устойчивости как стабилизирующих, так и следящих, и программных СУ. Это объясняется двумя обстоятельствами: во-первых, тем, что реальные возмущения часто имеют периодический характер и поэтому могут быть представлены в виде суммы гармонических составляющих и, во-вторых, тем, что математический аппарат анализа автоматических систем хорошо разработан именно для случая гармонических воздействий.

Для следящих и программных систем типовым является линейное воздействие, начинающееся в момент t = 0 (рис.2.2,з),

(2.8)

где коэффициент a₁ характеризует скорость нарастания воздействия х(t).

Рассмотрим теперь возможные состояния и возможные режимы перехода СУ от одного состояния к другому. Состояние системы будем характеризовать изменением управляемой величины во времени. Очевидно, что состояние системы и режимы перехода зависят как от формы задающего или возмущающего воздействия, так и от свойств самой системы.

Различают два режима работы СУ и их элементов: статический и динамический. Статическим режимом называют состояние системы (элемента), при котором управляемая (выходная) величина y не изменяется во времени, т. е. у(t)=const.

Очевидно, что статический режим (или состояние равновесия) может иметь место лишь тогда, когда входные воздействия постоянны во времени. Связь между входными и выходными величинами в статическом режиме описывают алгебраическими выражениями.

В динамическом режиме работы системы (элемента) управляемая (выходная) величина непрерывно изменяется во времени: у(t)=var.

Динамические режимы имеют место, когда в системе после нанесения внешних воздействий происходят процессы установления заданного изменения выходной величины. Эти процессы называют процессами управления. Они описываются в общем случае дифференциальными уравнениями.

Рис. 2.3. Переходные и установившиеся режимы при типовых воздействиях

Динамические режимы делят на: неустановившиеся и установившиеся. Неустановившиеся или переходные режимы имеют место сразу после изменения внешних воздействий. Конкретный вид функции у(t) в переходном режиме зависит от типа воздействия и от собственных динамических свойств системы. Установившийся режим работы наступает после окончания переходного процесса, когда выходная величина элемента или системы изменяется во времени по такому же закону, что и входное воздействие. При этом говорят, что элемент (система) совершает вынужденное движение.

Нетрудно заметить, что статический режим является частным случаем установившегося (вынужденного) режима при x(t)=const.

Понятия «переходный режим» и «установившийся режим» иллюстрируются графиками изменения выходной величины у(t) при трех типовых воздействиях (рис. 2.3). Граница между переходным и установившимся режимами показана вертикальной пунктирной линией.