6. Точность систем управления

6.1. Общие понятия о точности управления

Назначение любой СУ – изменение выходной величины х(t) в соответствии с изменениями задающего воздействия х_з(t). В большинстве случаев эта задача СУ заключается в поддержании равенства

(6.1)

при любых изменениях задающего и возмущающих воздействий.

При анализе точности различают две функции системы: воспроизведение задающего воздействия и подавление (компенсация) возмущений.

Из-за инерционности объекта и регулятора обе эти функции выполняются любой реальной системой с погрешностью: в каждый момент времени после внешнего воздействия существует разность

(6.2)

характеризующая точность системы. Чем меньше мгновенные значения сигнала ошибки ε(t), тем больше (лучше) точность системы.

Как было показано в разделе 5.3, сигнал ошибки ε(t) в типовой СУ (см. рис. 5.5,б) содержит составляющую ε_з(t), которая характеризует точность выполнения системой функции воспроизведения задающего воздействия, и несколько составляющих, которые в сумме характеризуют точность выполнения функции подавления возмущений.

Из формул (5.40)–(5.43) следует одно из важнейших правил теории управления: в типовой одноконтурной системе, состоящей из объекта W₀(p) и регулятора W_р(p), полная ошибка регулирования ε(t) и ее составляющие и в статике, и в динамике обратно-пропорциональны выражению (1+ W_р(p) W₀(p)), т.е. точность регулирования тем лучше, чем больше усилительные свойства регулятора.

Вычисление мгновенных значений сигнала ошибки и его составляющих при произвольном законе изменения внешних воздействий представляет собой сложную задачу. Поэтому точность систем принято оценивать по значениям ε_з и ε_в в статическом и в установившемся динамическом режиме системы. Соответственно различают статическую точность и динамическую точность. Ниже показано, что в статическом режиме ошибки возникают только в статической системе.

6.2. Точность статических и астатических систем стабилизации

Статической системой управления называется система, объект и регулятор которой являются статическими элементами, т. е.

и . (6.3)

Подставляя в уравнения динамики (5.37) и (5.43) одноконтурной системы (см. рис. 5.5,б) р=0 и учитывая выражения (6.3), получим уравнения статики статической системы:

для управляемой величины

(6.4)

и для сигнала ошибки

(6.5)

Если вместо возмущения у_в задано z₃ (см. рис. 5.5,а), то в числители вторых слагаемых в (6.4) и (6.5) следует подставлять ПК k_ов, характеризующий канал z_з-х.

Первое слагаемое в правой части уравнения (6.5) характеризует так называемую статическую ошибку по задающему воздействию, а второе - статическую ошибку по возмущению. Обе эти ошибки тем больше, чем больше внешние воздействия, и тем меньше, чем больше знаменатель (1+k_рk_о). Следовательно, точность статической системы тем лучше, чем больше ПК разомкнутого контура.

Точность статической системы принято оценивать коэффициентом статизма

(6.6)

где Δx_р – отклонение управляемой величины x от заданного значения, создаваемое возмущением у_в= у_в0 при разомкнутом контуре регулирования; Δx_з – отклонение управляемой величины, создаваемое тем же возмущением у_в0 в замкнутой системе. Коэффициент статизма показывает, во сколько раз отклонение выходной величины управляемого объекта меньше отклонения этой величины у неуправляемого объекта (при одном и том же значении возмущающего воздействия).

Очевидно, что

(6.7)

и

(6.8)

Отсюда коэффициент статизма

(6.9)

где k=k_рk_о – ПК разомкнутого контура.

Точность статической системы считается удовлетворительной, если коэффициент S находится в пределах 0,1 ... 0,01. Следовательно, общий ПК разомкнутого контура статической системы должен находится в диапазоне 10…100.

Пример. Оценим статическую точность системы стабилизации частоты вращения вала двигателя (см. в разделе 5.2 рис. 5.4), если известно, чтоk_у=4;k_тп=2;k_г=4.5:k_д=0.1;k_тг=2,5;k_д'=0,01.

Пусть требуется при расчетном моменте нагрузки М_со=1000 Н∙м поддерживать неизменной частотуn₀=10 об/с.

Предполагаем, что все элементы системы линейны. По уравнению (5.31), описывающему статику системы, можно рассчитать необходимое значение задающего воздействия и_з. Оно равнои_з0≈30 В.

Если в процессе работы момент нагрузки будет изменяться от 900 до 1100 Н∙м. т. е. ΔМ_с=200 Н∙м, то в системе будут возникать статические ошибки, максимальное значение которых

(6.10)

где – ПК разомкнутого контура.

В неуправляемом двигателе (т. е. при разомкнутом контуре системы) такие же изменения момента создавали бы отклонения частоты вращения, равные

(6.11)

Следовательно, коэффициент статизма системы

(6.12)

Это значение коэффициента Sполучается и при вычислении его непосредственно по формуле (6.9).

Типовая СУ называется астатической ν-го порядка, если ее регулятор обладает астатизмом ν–го порядка, т. е. содержит ν интегрирующих звеньев. В промышленной автоматике обычно используются системы с ν=1 и 2.

Рассмотрим точность астатической системы, в которой объект управления является статическим элементом, т. е.

(6.13)

Подставляя в уравнения динамики (5.37) и (5.43) p=0 и учитывая выражения (6.13), получим уравнения статики астатической системы:

для управляемой величины

(6.14)

и для сигнала ошибки

(6.15)

На основании выражений (6.14) и (6.15) можно сделать вывод, что в астатической системе стабилизации в статическом режиме управляемая величина x не зависит от возмущающего воздействия, а сигнал ошибки ε равен нулю.