6.3. Динамическая точность су

Динамическую точность систем оценивают по величине сигнала ошибки в установившемся динамическом режиме. Установившийся динамический режим наступает, как известно, после окончания переходного процесса. В этом режиме управляемая величина и сигнал ошибки имеют только вынужденную составляющую.

В зависимости от свойств системы и от точки приложения внешнего воздействия вынужденная составляющая сигнала ошибки либо равна постоянной величине, либо неограниченно возрастает. Постоянную вынужденную составляющую можно определить при помощи теоремы о конечном значении оригинала.

Рассмотрим методику определения постоянных составляющих сигнала ошибки. Определим установившееся значение сигнала ошибки типовой одноконтурной СУ (рис. 5.5,б) при изменении внешних воздействий x(t) или y(t) по закону ступенчатой функции

(6.16)

и по закону степенной функции

(6.17)

Пусть ПФ регулятора имеет вид

(6.18)

а объекта

(6.19)

где множители стремятся к единице.

Показатели ν_р и ν₀ характеризуют порядок астатизма регулятора и объекта.

Согласно выражениям (6.18) и (6.19) ПФ разомкнутого контура будет иметь вид

(6.20)

где k=k_рk_о - ПК разомкнутого контура; ν= ν_р+ν₀ - порядок астатизма контура; - множитель, который пристремится к единице.

Подставляя ПФ (6.18) и (6.19) в выражение (5.43), получим изображение сигнала ошибки типовой системы

(6.21)

Из выражения (6.21) следует, что составляющая ε_з, обусловленная изменением задающего воздействия х_з, зависит от общего порядка астатизма ν, а составляющая ε_в, обусловленная изменением возмущающего воздействия y_в, зависит только от порядка астатизма регулятора.

Установившееся значение сигнала ошибки определим, используя теорему Лапласа о конечном значении оригинала (см. табл. 2.2),

(6.22)

Знаменатели обоих слагаемых в выражении (6.21) при стремятся к значению 1+k (при ν=0) или к значению k (при ν>0). Предельное значение числителей зависит от вида функций х_з(t) и у_в(t) и от показателей астатизма ν и ν_р.

Если подставить вместо х_з(р) и у_в(р) в формуле (6.21) изображения ступенчатой функции

(6.23)

или степенной функции

(6.24)

то можно найти установившиеся значения сигнала ошибки.

В табл. 6.1 приведены установившиеся значения составляющих ε_з и ε_в для ряда распространенных случаев (q=0; 1; 2 и ν=0; 1; 2).

Таблица 6.1

Установившиеся значения ошибки типовой системы (см. Рис. 5.5,б)

	Порядок астатизма	Вид воздействия
		а01(t)	а1t1(t)	α2t21(t)
εз	ν=0	a0/(1+k)	∞	∞
	ν=1	0	a1/k	∞
	ν=2	0	0	2a2/k
εв	νр=0; ν0=0	a0k0/(1+k)	∞	∞
	νр=0; ν0=1	a0/kр	∞	∞
	νр=1; ν0=0	0	a1/kр	∞
	νр=1; ν0=1	0	a1/kр	∞
	νр=2; ν0=0	0	0	2a2/kр

На основании результатов, приведенных в табл. 6.1, можно сформулировать следующие общие правила:

1. Если суммарный порядок астатизма ν типовой системы равен показателю q степенного задающего воздействия, то система в установившемся режиме имеет ошибку воспроизведения

(6.25)

которая тем меньше, чем больше ПК разомкнутого контура системы.

2. Постоянная ошибка подавления ε_в(∞), возникающая в установившемся режиме при q=ν_р, обратно пропорциональна ПК регулятора.

3. Если порядок астатизма ν_р регулятора больше показателя q воздействия, то установившиеся значения ошибок ε_з(∞)=0 и ε_в(∞)=0.

4. Если порядок астатизма ν меньше показателя q, то ε_з(∞)=∞ и ε_в(∞)=∞.

На рис. 6.1 показана серия переходных функций, установившиеся участки которых иллюстрируют сформулированные правила. На рис. 6.1,а показаны переходные функции статической (ν=0) и астатических (ν=1 и ν=2) систем при ступенчатом изменении задающего воздействия, а на рис. 6.1,б – переходные функции тех же систем при линейно нарастающем задающем воздействии.

Пример. Определим установившуюся составляющую сигнала ошибки типовой системы (см. рис. 5.5,б) при изменении задающего воздействия по закону

(6.26)

Пусть ПФ разомкнутого контура имеет вид

(6.27)

где k=10;T₁=0,1c;T₂=0,2 с.

В данном случае показатель воздействия q=2 и порядок астатизма системы ν=2, поэтому, согласно табл. 6.1, установившаяся ошибка воспроизведения.

Рис. 6.1. Переходные процессы в статической и астатической СУ

при ступенчатом (а) и линейном (б) изменении задающего воздействия

На основании результатов, приведенных в табл. 6.1, можно сделать вывод, что теорема Лапласа о конечном значении оригинала (см. табл. 2.2) позволяет вычислить постоянную вынужденную составляющую сигнала ошибки ε (в том числе и нулевую ошибку) и факт ее (ошибки) неограниченного возрастания без определения закона изменения ошибки во времени. Возрастающую вынужденную составляющую находят при помощи метода коэффициентов ошибок.