2.5. Временные (переходные) характеристики

Дифференциальное уравнение является самой общей формой описания элемента и не дает наглядного представления о передаточных свойствах элемента. Наглядное представление об этих свойствах дает функция y(t), являющаяся решением дифференциального уравнения. Но одно и то же дифференциальное уравнение может иметь, как известно, много решений, конкретный вид которых зависит от начальных условий и от характера функции x(t), т. е. от начального состояния элемента и от вида внешнего воздействия. Поэтому принято динамические свойства элементов и систем характеризовать решением, соответствующим нулевым начальным условиям и одному из типовых воздействий. В качестве типовых воздействий принимают единичное ступенчатое, дельта-функцию или гармоническое.

Наиболее наглядное представление о динамических свойствах элемента дают его переходные функции или переходные характеристики. Переходной функцией (характеристикой) h(t) называют изменение выходной величины y(t) во времени, возникающее после подачи на вход единичного ступенчатого воздействия, при нулевых начальных условиях. Переходная функция может быть задана в виде графика (рис. 2.10,а) или в формульном виде. Формульное выражение функции h(t) для конкретного элемента можно найти, решая его дифференциальное уравнение при x(t)=1(t) и при y(-0)=y⁽¹⁾ (-0)=…=y⁽ⁿ^-1)(-0)=0. Второе условие означает, что выходная величина у и ее производные до (n-1)-го порядка непосредственно перед подачей ступенчатого воздействия равны нулю.

Рис. 2.10. Переходная (а) и импульсная переходная (б) характеристики

Переходная функция h(t), как и любое решение неоднородного дифференциального уравнения вида (2.23), имеет две составляющие: вынужденную h_в(t) и свободную h_с(t):

(2.37)

Вынужденная составляющая h_в(t) переходного процесса представляет собой, как известно, частное решение исходного уравнения. При единичном ступенчатом воздействии 1(t) вынужденная составляющая равна установившемуся значению выходной величины, которое для статических элементов может быть определено непосредственно из дифференциального уравнения (при нулевых производных)

(2.38)

Свободная составляющая h_с(t) может быть найдена как общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения в следующем виде (при отсутствии одинаковых корней):

(2.39)

где – корни характеристического уравнения;– постоянные интегрирования, зависящие от начальных условии.

Характеристическое уравнение, соответствующее определенному дифференциальному уравнению, представляет собой алгебраическое уравнение, степень и коэффициенты которого совпадают с порядком и коэффициентами левой части этого дифференциального уравнения. Для дифференциального уравнения, записанного в форме (2.23), характеристическое уравнение имеет вид

(2.40)

Структура характеристического уравнения (2.40) совпадает со структурой левой части дифференциального уравнения, записанного в символической форме (2.26), и со структурой собственного (характеристического) оператора D(p) (см. (2.27)). Поэтому при записи характеристического уравнения часто вместо символа λ, обозначающего неизвестную переменную алгебраического уравнения, используют тот же символ р. Но при этом р означает уже не операцию дифференцирования, а некоторое комплексное число, которое является решением (корнем) характеристического уравнения.

Для линейных элементов и систем, кроме принципа суперпозиции, справедливо еще одно общее правило: реакция y(t) на неединичное ступенчатое воздействие a₀1(t) равна произведению переходной функции h(t) на величину множителя a₀, т. е. y(t)= a₀h(t). Это свойство широко используется при исследовании и расчете линейных систем.

Импульсной переходной функцией w(t) называют изменение выходной величины y(t), возникающее после подачи на вход дельта-функции, при нулевых начальных условиях (рис. 2.10,б).

Если входное воздействие представляет собой неединичный импульс a₀δ(t), ординаты функции выходной величины y(t) будут в a₀ раз больше ординат функции w(t), т. е. y(t)=a₀w(t).

Импульсная переходная функция w(t) равна производной от переходной функции h(t)

(2.41)

При помощи импульсной переходной функции элемента можно определить его реакцию на входное воздействие произвольного вида. Связь между изменениями входной и выходной величин во времени устанавливается интегралом свертки (интегралом Дюамеля)

(2.42)