2.7. Частотные характеристики

Частотные характеристики описывают передаточные свойства элементов и систем в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием. Зная частотную характеристику элемента, можно определить реакцию элемента на гармоническое воздействие любой частоты, а также на сумму гармонических воздействий различной частоты.

Рассмотрим физическую сущность и разновидности частотных характеристик. Пусть на вход линейного элемента (рис. 2.12,а) в момент времени t=0 подано гармоническое воздействие определенной частоты ω

(2.64)

Рис. 2.12. Схема для определения понятий частотного метода

Через некоторое время, необходимое для протекания переходного процесса (т. е. для исчезновения свободной составляющей), элемент войдет в режим установившихся вынужденных колебаний, а выходная величина y(t) будет изменяться по гармоническому закону с той же частотой ω, но с отличающейся амплитудой y_m и со сдвигом Δt_φ по оси времени (рис. 2.12,б):

(2.65)

где φ=(Δt_φ/T)360° – фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами, градус.

Повторяя такой эксперимент при фиксированном x_m для различных значений частоты (от 0 до ∞), можно установить, что амплитуда y_m и фазовый сдвиг φ выходного сигнала конкретного элемента зависят от частоты воздействия. Подавая гармоническое воздействие на вход различных элементов, можно убедиться, что величины y_m и φ зависят также от типа параметров элемента. Следовательно, зависимость амплитуды y_m и сдвига φ от значений частоты ω могут служить характеристиками динамических свойств элементов.

Так как амплитуда выходного сигнала y_m зависит еще и от амплитуды входного сигнала x_m, то целесообразно при описании передаточных свойств элементов рассматривать отношение амплитуд .

Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты называют амплитудной частотной характеристикой (сокращенно – АЧХ). Она обозначается А(ω). Зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты называют фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) φ(ω). Возможный вид этих характеристик показан на рис. 2.13,а и б. Аналитические выражения А(ω) и φ(ω) называют соответственно амплитудной и фазовой частотными функциями.

Рис. 2.13. Частотные характеристики:

а – амплитудная; б – фазовая; в – амплитудно-фазовая; г – логарифмическая

АЧХ показывает, как элемент пропускает сигналы различной частоты. Оценка пропускания производится по отношению амплитуд . АЧХ имеет размерность, равную отношению размерности выходной величины к размерности входной. ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах.

Амплитудную и фазовую частотные характеристики можно объединить в одну общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ или АФХ). Амплитудно-фазовая частотная характеристика W(jω) представляет собой функцию комплексного переменного jω, модуль которой равен A(ω), а аргумент равен φ(ω). Каждому фиксированному значению частоты ω_i соответствует комплексное число W(jω_i), которое на комплексной плоскости можно изобразить вектором, имеющим длину A(ω_i) и угол поворота φ(ω_i) (рис. 2.13,в). Отрицательные значения φ(ω), соответствующие отставанию выходного сигнала от входного, принято отсчитывать по часовой стрелке от положительного направления действительной оси.

При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(jω) будет поворачиваться вокруг начала координат, одновременно будет увеличиваться или уменьшаться длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, и есть АФХ. Каждой точке характеристики соответствует определенное значение частоты.

Проекции вектора W(jω) на действительную и мнимую оси называют соответственно действительной частотной характеристикой и мнимой частотной характеристикой. Обозначают их так: . Отметим, что действительная частотная характеристика P(ω) – всегда четная функция частоты, а мнимая Q(ω) – всегда нечетная функция.

Аналитическое выражение для АФХ конкретного элемента можно получить из его передаточной функции – путем подстановки p=jω

(2.66)

поэтому АФЧХ иногда называют частотной передаточной функцией.

АФХ W(jω), как и любая комплексная величина, может быть представлена в показательной форме

(2.67)

или алгебраической

(2.68)

Связь между различными частотными функциями следующая:

(2.69)

(2.70)

Поскольку АФХ W(jω) так же, как и ПФ, представляет собой обычно дробь, то ее модуль может быть найден по известному правилу – как отношение модуля числителя к модулю знаменателя:

(2.71)

а аргумент функции W(jω) - как разность аргументов числителя и знаменателя

(2.72)

При практических расчетах СУ удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из нескольких прямолинейных отрезков. Причем эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений, при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду. Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением ω_i, и его десятикратным значением 10ω_i. Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.

Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

(2.73)

ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах или децибелах (сокращенно дБ).

Бел – единица измерения отношения мощностей двух сигналов. Если мощность одного сигнала больше (меньше) мощности другого сигнала в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 бел (lg10=1). Так как мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, то при применении этой единицы для измерения отношения амплитуд перед логарифмом появляется множитель 2. Например, если на некоторой частоте A(ω)=100, то это означает, что мощности входного и выходного сигналов отличаются в 100² раз, т. е. на 2lg100=4 бела или на 40 дБ, соответственно и L(ω)=20lgА(ω)=40 дБ.

При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяют только для оси абсцисс.

На рис. 2.13,г показаны ЛАЧХ L(ω) (жирная линия) и соответствующая ей приближенная (асимптотическая) характеристика L_a(ω) в виде прямолинейных отрезков (тонкая линия). Частоты, соответствующие точкам стыковки отрезков, называются сопрягающими и обозначаются ω_с.

АФХ элемента связана с его импульсной переходной функцией преобразованием Фурье

(2.74)

Пример. Найдем аналитические выражения для частотных характеристик элемента, ПФ которого имеет вид

(2.75)

Амплитудно-фазовая функция элемента

(2.76)

Выражение для амплитудной частотной характеристики найдем как отношение модулей числителя и знаменателя

, (2.77)

а для фазовой – как разность аргументов числителя и знаменателя

(2.78)