2.8. Статические и динамические характеристики типовых соединений элементов

Алгоритмическая структура любой СУ представляет собой комбинацию трех типовых соединений элементов: последовательного, параллельного и встречно-параллельного (охват обратной связью). Если эти соединения состоят из элементов направленного действия (см. раздел 2.1), то каждое соединение может быть по простым правилам заменено одним элементом, статические и динамические свойства которого эквивалентны свойствам всего соединения.

При последовательном соединении (рис. 2.14,а) выходная величина каждого предыдущего элемента является входным воздействием для последующего элемента. Если элементы линейны и в статике характеризуются передаточными коэффициентами k₁, k₂,…, k_i,…, k_n, то, согласно определению передаточного коэффициента, можно записать

(2.79)

Таким образом, общий передаточный коэффициент последовательно соединенных элементов равен произведению передаточных коэффициентов этих элементов. Размерность общего передаточного коэффициента равна произведению размерности коэффициентов.

Рис. 2.14. Типовые соединения линейных элементов:

а – последовательное; б – параллельное; в – встречно-параллельное (с обратной связью)

Так как при последовательном соединении выход каждого предыдущего элемента является входом последующего, то передаточные коэффициенты всех элементов должны определяться путем линеаризации статических характеристик в точках, соответствующих одному и тому же режиму.

Параллельным соединением называют такое соединение, при котором на вход всех элементов поступает одно и то же воздействие, а их выходные величины (с соответствующими знаками) суммируются (рис. 2.14,б). Согласно этому определению, получим

(2.80)

Отсюда следует, что эквивалентный ПК параллельно соединенных линейных элементов равен сумме передаточных коэффициентов элементов:

(2.81)

Отметим, что суммирование сигналов y_i в одной точке возможно лишь в том случае, если они имеют одинаковую размерность. Поэтому коэффициенты всех параллельно соединенных элементов и их общий коэффициент k_э всегда имеют одну и ту же размерность.

Встречно-параллельным соединением двух элементов (соединением с обратной связью) называют такое соединение, при котором выходной сигнал первого элемента поступает на вход второго, а выходной сигнал второго элемента с соответствующим знаком суммируется с общим входным сигналом (рис. 2.14,в). Первый элемент, в котором направление передачи сигнала совпадает с направлением передачи общего сигнала, называют элементом прямой цепи. Второй элемент, у которого направление передачи сигнала противоположно направлению передачи общего сигнала, называют элементом обратной связи.

В зависимости от знака сигнала обратной связи различают положительные и отрицательные обратные связи. Если сигнал обратной связи y_ос суммируется (на схеме знак «+») с общим входным сигналом х, то обратная связь является положительной. Если сигнал обратной связи вычитается из общего сигнала (на схеме знак «-»), то обратная связь является отрицательной.

Рассмотрим статические свойства соединения с обратной связью. Пусть элементы прямой и обратной связи линейны и характеризуются коэффициентами k_п и k_ос. Тогда, согласно определению понятия «обратная связь», можно записать уравнения:

прямой цепи

(2.82)

обратной цепи

(2.83)

и узла суммирования

(2.84)

Подставляя выражение (2.83) в (2.84), а затем выражение (2.84) в (2.82), получим уравнение статики всего соединения с обратной связью

(2.85)

Отсюда эквивалентный ПК

(2.86)

где знак «+» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «-» положительной. Формула (2.86) выражает одно из фундаментальных правил теории управления:

эквивалентный ПК элемента, охваченного отрицательной обратной связью, равен коэффициенту прямой цепи, разделенному на единицу плюс произведение коэффициентов прямой и обратной связи.

Размерность эквивалентного ПК равна размерности коэффициента k_п. Произведение коэффициентов k_пk_ос всегда безразмерно.

Из выражения (2.86) следует, что отрицательная обратная связь уменьшает эквивалентный коэффициент, а положительная – увеличивает. Если при положительной обратной связи произведение коэффициентов k_пk_ос равно единице, то коэффициент k_э возрастает до бесконечности. А если k_пk_ос>1, то положительная обратная связь превращает соединение в инвертор (элемент, изменяющий знак входного сигнала) с эквивалентным коэффициентом k_э.

Анализируя формулу (2.86), можно показать, что отрицательная обратная связь уменьшает отклонения выходной величины, возникающие в исходной прямой цепи из-за нестабильности коэффициента k_п, в (1+ k_пk_ос) раз. Нестабильность самого коэффициента k_ос обратной связью не компенсируется.

Соединение с отрицательной обратной связью обладает еще одним замечательным свойством:

при достаточно большом значении произведения k_пk_ос эквивалентный ПК практически не зависит от коэффициента k_п.

Действительно при k_пk_ос>>1

(2.87)

Это свойство широко используется при конструировании высоко стабильных устройств из элементов с меняющимися коэффициентами.

Таким образом,

отрицательная обратная связь всегда уменьшает проявление нестабильности параметров охватываемого элемента и оказывает стабилизирующее действие на передаточные свойства прямой цепи.

Заметим, что в случаях, когда статические характеристики отдельных элементов нелинейны, то нельзя применять формулы (2.79), (2.81), (2.86) и эквивалентные характеристики соединений можно определить только графическими построениями.

Рассмотрим теперь правила нахождения эквивалентных динамических характеристик типовых соединений.

Выражения для эквивалентных ПФ типовых соединений можно получить так же, как и выражения (2.79), (2.81) и (2.86) для ПК.

Эквивалентная ПФ последовательного соединения из n элементов равна произведению п ПФ элементов

(2.88)

Соответственно эквивалентная АФЧХ последовательного соединения также равна произведению

(2.89)

Эквивалентная АЧХ этого соединения может быть получена как модуль произведения (2.89) и равна произведению отдельных АЧХ

(2.90)

а эквивалентная ФЧХ – как аргумент произведения и равна сумме ФЧХ

(2.91)

В соответствии с (2.90) эквивалентная ЛАЧХ может быть получена как сумма ЛАЧХ отдельных элементов, соединенных последовательно

(2.92)

Эта возможность широко используется в практических расчетах.

При параллельном соединении n элементов эквивалентная ПФ равна сумме n ПФ элементов

(2.93)

Как сумма могут быть найдены и такие эквивалентные характеристики параллельного соединения, как W_э(jω), h_э(t) и w_э(t).

Наконец, для соединения с обратной связью эквивалентная ПФ аналогично (2.86)

(2.94)

где знак «+» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «-» положительной.

Нетрудно убедиться, что при больших значениях ПК прямой цепи эквивалентная ПФ встречно-параллельного соединения с отрицательной обратной связью, аналогично (2.87), принимает вид

(2.95)

Соотношение (2.95) выражает свойство так называемой предельной системы, динамические свойства которой определяются только свойствами звена обратной связи.