2.4. Линейные дифференциальные уравнения как динамические характеристики

Наиболее полной формой математического описания СУ и их элементов является дифференциальное уравнение. Для большинства элементов дифференциальное уравнение, составленное строго в соответствии с законами физики, оказывается нелинейным. Это обстоятельство сильно осложняет все последующие процедуры анализа. Поэтому всегда стремятся перейти от трудно разрешимого нелинейного уравнения к обыкновенному линейному неоднородному дифференциальному уравнению вида

(2.23)

где x(t) и y(t) – входная и выходная величины элемента или системы; a_i, b_i – коэффициенты уравнения.

Уравнение (2.23) устанавливает связь между входной и выходной величинами как в переходных, так и в установившихся режимах.

Приравнивая все производные в уравнении динамики (2.23) нулю, можно получить уравнение статики элемента (системы) в следующем общем виде:

(2.24)

Коэффициенты дифференциального уравнения называются его параметрами. Они зависят от различных физических констант, характеризующих скорость протекания процессов в элементах. Такими константами являются, например, массы движущихся частей, индуктивности и емкости электрических цепей, теплоемкости нагреваемых элементов.

Иногда параметры некоторых элементов систем изменяются во времени, причем скорость их изменения соизмерима со скоростью процессов управления в системе. Тогда систему называют нестационарной или системой с переменными параметрами. В большинстве же практических случаев коэффициенты уравнения существенно не изменяются и системы являются системами с постоянными параметрами. В дальнейшем будут рассматриваться только такие системы.

Для систем управления, описываемых линейным уравнением (2.23), справедлив принцип наложения или суперпозиции, согласно которому изменение выходной величины y(t), возникающее при действии на систему нескольких входных сигналов x_i(t), равно сумме изменений y_i(t) величины y(t), вызываемых каждым сигналом в отдельности.

Это свойство линейных систем имеет большое практическое значение, так как благодаря ему значительно облегчаются все расчеты.

Дифференциальное уравнение (2.23) можно представить в символической (операторной) форме. Переход к этой форме записи осуществляют введением сокращенного условного обозначения операции дифференцирования: d…./dt=p. Соответственно i-ю производную переменной y обозначают

(2.25)

тогда уравнение (2.23) в символической форме будет иметь вид:

(2.26)

Многочлены от p степени n и m, находящиеся в левой и правой частях уравнения (2.26), называют дифференциальными операторами. Каждый такой оператор устанавливает соответствие между функцией времени и определенной совокупностью производных этой функции. Многочлен

(2.27)

называют собственным или характеристическим оператором, а многочлен

(2.28)

– входным оператором, или оператором воздействия.

Название «собственный» обусловлено тем, что многочлен D(p) характеризует собственное движение элемента, т. е. движение при отсутствии внешних воздействий.

Дифференциальное уравнение, записанное в символической форме (2.26), называют операторным уравнением динамики элемента (системы).

У всех реальных элементов и систем порядок наивысшей производной во входном операторе не может быть больше порядка наивысшей производной в собственном операторе, т. е. обычно m ≤ n. Если в процессе каких-либо формальных выкладок образуется уравнение, у которого m > n, то говорят, что это уравнение соответствует физически нереализуемой системе.

Уравнения элементов невысокого порядка (n < 3) в теории управления принято записывать в так называемой стандартной форме. При стандартной форме записи уравнение преобразовывают таким образом, чтобы коэффициент при выходной величине был равен единице. При этом коэффициент перед входной величиной в правой части уравнения становится равным передаточному коэффициенту, а коэффициенты при производных выходной величины будут иметь размерность времени в степени, равной порядку соответствующей производной. Например, уравнение второго порядка

(2.29)

путем деления всех членов на коэффициент a₂ может быть приведено к стандартной форме

(2.30)

где

Коэффициенты Т, Т₁, Т₂ принято называть постоянными времени. Они характеризуют динамические свойства элемента или системы.

Пример. Составим дифференциальное уравнение механического колебательного устройства (рис. 2.9), состоящего из подвижной части с массой m (кг) и упругого элемента с коэффициентом упругости k_уп. В качестве входной переменной x будем рассматривать силу f (Н), а выходной y - перемещение l (м) центра массы.

Согласно известному закону механики – принципу д'Аламбера – активная (внешняя) сила f уравновешивается суммой сил инерции f_ин, трения f_тр и упругой реакции f_уп

(2.31)