Квадратичное программирование.

Задача квадратичного программирования характеризуется тем, что ее ОДР представляет собой выпуклый многогранник, а ЦФ – квадратичную функцию.

Задача квадратичного программирования, если ее ОДР не пуста, а ЦФ является выпуклой или вогнутой всегда имеет оптимальное решение, причем ее локальный экстремум является так же глобальным экстремумом.

F = ∑a_ix_i + ∑∑c_ijx_ix_j

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n ≤(≥)b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n ≤(≥)b₂

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n ≤(≥)b_m

x₁≥0, x₂≥0,…,x_n≥0

Математическая модель задачи квадратичного программирования с двумя переменными:

F = ax₁² + bx₁ + cx₂² + dx₂ + ex₁x₂ ( a≠0, b,c≠0, d,e – действительные числа)

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n ≤(≥)b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n ≤(≥)b₂

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n ≤(≥)b_m

x₁≥0, x₂≥0 (график: многогранник. Остальное, как в предыдущем примере)

Задачи нелинейного программирования с ограничениями, заданными в виде равенств.

ЦФ и функции, входящие в систему ограничений, представляют собой нелинейные функции общего вида, а система ограничений содержит только ограничения-равенства, и при этом требования неотрицательности переменных могут отсутствовать.

F = F(x₁,x₂,…,x_n)  max(min)

g₁(x₁,x₂,…,x_n) = b₁

g₂(x₁,x₂,…,x_n) = b₂

g_m(x₁,x₂,…,x_n) = b_m

При этом, число ограничений-равенств (m) должно быть меньше числа переменных (n), а функции F = F(x₁,x₂,…,x_n) и g_i(x₁,x₂,…,x_n) должны быть непрерывными и иметь непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

Для двух переменных:

F = F(x₁,x₂)  max(min)

G(x₁,x₂) = b

Модель планирования производства, учитывая выпуск бракованной продукции и эффект от масштаба.

Построим математическую модель оптимального планирования производства с максимизацией прибыли, которая учитывает выпуск бракованной продукции и эффект масштаба производства для случая выпуска двух видов продукции А₁ и А₂, на производство которых расходуются три вида ресурсов S₁, S₂ и S₃.

X₁,x₂ - объемы выпуска годной продукции А₁ и А₂

A_ij – затраты i-го ресурса S_i, расходуемого на производство одной усл.ед. j-й продукции А_j

B₁,b₂,b₃ – объемы ресурсов, имеющиеся в наличии

C₁,c₂ – ожидаемая прибыль от реализации одной усл.ед. продукции А₁ и А₂

k _ij – интенсивность изменения расхода ресурса i при выпуске одной усл.ед. брака для продукции А_j

На выпуск бракованной продукции затрачиваются те же ресурсы, что и на производство годной продукции. Полный расход ресурса:

{Объем расходуемого ресурса S_i} = {Объем ресурса S_i, расходуемого на выпуск годной продукции} + {Объем ресурса S_i, расходуемого на выпуск бракованной продукции}

Примем допущение, что с ростом объема производства продукции, объем выпускаемого брака тоже увеличивается. Тогда объем ресурса S_i, расходуемого на производство годной продукции А_j в объеме х_j и брака, складывается из 2х частей. Первая объемом а_ij х_j идет на производство только годной продукции, а вторая k _ij х_j² расходуется на производство бракованной продукции.

Таким образом, система ограничений:

a₁₁x₁ + k ₁₁х₁² + a₁₂x₂ + k ₁₂х₂² ≤ b₁

a₂₁x₁ + k ₂₁х₁² + a₂₂x₂ + k₂₂х₂² ≤ b₂

a₃₁x₁ + k₃₁х₁² + a₃₂x₂ + k₃₂х₂² ≤ b₃

Благодаря эффекту масштаба, прибыль от реализации одной усл.ед. продукции растет с увеличением объема производимой продукции.

Общая прибыль от реализации одной усл.ед. продукции вида А_j складывается из двух компонентов. Первая компонента равна с_j и не учитывает эффект масштаба, а вторая равна l_jx_j (добавочная прибыль, обусловленная эффектом масштаба), где l_j отражает интенсивность изменения прибыли одной усл.ед. продукции А_j с ростом объема ее выпуска.

F = (c₁ + l₁x₁)x₁ + (c₂ + l₂x₂)x₂

Таким образом математическую модель можно записать так:

F = (c₁ + l₁x₁)x₁ + (c₂ + l₂x₂)x₂  max

a₁₁x₁ + k ₁₁х₁² + a₁₂x₂ + k ₁₂х₂² ≤ b₁

a₂₁x₁ + k ₂₁х₁² + a₂₂x₂ + k₂₂х₂² ≤ b₂

a₃₁x₁ + k₃₁х₁² + a₃₂x₂ + k₃₂х₂² ≤ b₃

x₁≥0, x₂≥0