Модель фирмы, или модель поведения производителей.

Модель фирмы описывает прибыль или доход фирмы, которые она получает от реализации, произведенной на фирме продукции в зависимости от объемов затрачиваемых ресурсов.

S₁,S₂ – виды ресурсов

P₁,p₂ – цена за единицу каждого ресурса

P₀ – цена за единицу продукции

X₁,x₂ – объемы ресурсов

Y – объем произведенной продукции

Y = f(x₁,x₂)

Доход = {цена за единицу продукции}*{объем произведенной продукции} = p₀y = p₀f(x₁,x₂)

Издержки = {цена за единицу ресурса S₁}*{объем ресурса S₁} + {цена за единицу ресурса S₂}*{объем ресурса S₂} = p₁x₁ + p₂x₂

Прибыль = {доход} – {издержки} = p₀f(x₁,x₂) – (p₁x₁ + p₂x₂)

F = p₀f(x₁,x₂) – (p₁x₁ + p₂x₂)  max

x₁≥0, x₂≥0

Модель потребительского выбора, или модель поведения потребителей.

Модель потребительского выбора определяет набор приобретаемых потребителем товаров и услуг, которые имеют для него наибольшую полезности при заданных ценах на товары и услуги и доходы потребителя.

C – доход потребителя

X₁,x₂,…,x_n – блага

P₁,p₂,…,p_n – рыночные цены на блага

Стоимость потребительского набора Х = (х₁,х₂,…,х_n) = p₁x₁ + p₂x₂ +…+ p_nx_n

БО = p₁x₁ + p₂x₂ +…+ p_nx_n ≤ С

TU (х₁,х₂,…,х_n)  max

p₁x₁ + p₂x₂ +…+ p_nx_n ≤ С

x₁≥0, x₂≥0

Модель формирования оптимального инвестиционного портфеля.

Содержательная постановка задачи формирования инвестиционного портфеля состоит в том, чтобы определить размеры долей x_i капитала, инвестированного в ценные бумаги различных видов, при которых, во-первых. Ожидаемый доход R будет не меньше заданной величины R₀ и, во-вторых, риск инвестиционного портфеля, пропорциональный σ_R² будет минимальным.

F ~ σ_R² = ∑ σ_i² x_i² ∑∑σ_ij x_i x_j  min

R₁x₁ + R₂x₂ +…+ R_nx_n ≥ R₀

x₁ + x₂ +…+ x_n = 1

x₁≥0, x₂≥0,…,x_n≥0

Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева) в натуральном выражении.

Таблица: отрасль(1..н), объем выпуска продукции каждой отраслью (х₁…х_н), объемы продукции одной отрасли, потребляемые другими отраслями при производстве своего продукта (х₁₁…х_нн), конечный спрос (у₁…у_н)

Каждая i-я строка показывает:

• Объем продукта (x_i), выпускаемого i-й отраслью

• Объемы продукта i-й отрасли, которые поступают в каждую j-ю отрасль и затрачиваются там на производство продукта

• Объем продукта (у_i), направляемого i-й отраслью на непроизводственное потребление.

Каждый j-й столбец соответствует j-й отрасли и показывает в каких объемах отрасль j затрачивает на свои производственные нужды продукты, выпускаемые всеми отраслями в ед.времени.

x_i = x_i1 + x_i2 +…+ x_ii + x_in + у_i, i = 1,2,…,n

x₁ = x₁₁ + x₁₂ +…+ x_1n + у₁

x₂ = x₂₁ + x₂₂ +…+ x_2n + у₂

x_i = x_i1 + x_i2 +…+ x_in + у_i

x_n = x_n1 + x_n2 + …+ x_nn + у_n

a_ij – коэффициент, равный объему продукции, производимой в i-й отрасли и затрачиваемой на производство ед. продукции в j-й отрасли. (коэффициент прямых материальных затрат)

x₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…+ a_1nx_n + у₁

x₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +…+ a_2nx_n + у₂

x_i = a_i1x₁ + a_i2x₂ +…+ a_inx_n + у_i

x_n = a_n1x₁ + a_n2x₂ +…+ a_nnx_n + у_n

в матричном виде: Х = АХ + Y

Экономическая модель будет продуктивной, если матрица прямых затрат А такова, то система уравнений модели Леонтьева Х = АХ + Y имеет неотрицательное решение Х ≥ 0 для положительного вектора конечного спроса Y > 0.

Х = (Е – А)^-1Y = ВY