1. Геометрические векторы.

Рассмотри на плоскости 2 точки А и Б. По соединяющему их от резку можно двигаться в обе стороны. Если А – начало, а Б – конец, получим направленный отрезок АБ, иначе БА. Определение – геометрический вектор – направленный отрезок который можно перемещать параллельно самому себе. Если у вектора совпадает начало и конец, то вектор 0й. Длинной вектора вектора будем называть величину соответствующей направлению отрезка или расстояния между нач. и конечными точками вектора и обозначается – модуль(AB). Если длинна вектора равна 1му, то вектор-единичный. 2 вектора равны, если они лежат на одной или на параллельных прямых, направленных в одну сторону и их длинны равны. 1й вектор имеющий одинаковое направление с векротом АБ – орт вектора АБ. Орт = (вектор АБ/длину вектора). Угол между векторами А и Б – угол С причем 0<C< , при условии что А и Б имеют общее начало.

2. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов – число которое находится по формуле |a|*|b|* cos(c), с – угол между векторами. Скалярное произведение (А,Б)=|а|*пр.а Б. = |Б|* пр.б. А.

Свойства скалярного произведения:

1. (а,б)=(б,а) тк cos(-c) = cos(c);

2. (а,б+с)= (а,б)+(а,с)

3. (α*а,б)=(а, α*б)= α(а,б)

4. (а,а)=|a|*|a| * cos(0) = |a|^2

5. Скалярное произведение |a|*|a|=0 только тогда, когда вектор а =0

6. Для того чтобы векторы а и б были ортогональны достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось 0.

Скалярное произведение векторов в координатной форме

А{x1,y1,z1} B{x2,y2,z2}

(a,b)= x1x2+y1y2+z1z2

Док-во : рассмотрим 2 вектора в базисе ijk. А=x1i+y1j+z1k, b=x2i+y2j+z2k

(А,B) = (x1i+y1j+z1k, x2i+y2j+z2k)=x1x2(I,j) + x1y1(I,j)+x1z2(I,k)+y1x2(j,i)+y1y2(j,j)+y1z2(j,k)+z1x2(k,i)+z1y2(k,j)+z1z2(k1,k2) т.к i,j,k попарно ортогональны векторное произведение I,j,k = 0, а векторное произведение ijk вектора самого на себя = 1 получаем

(а,б)=x1x2+y1y2+z1z2

Векторное произведение векторов. В векторном произведении [a,b]=с

Такой что 1) |c|=|a|*|b|*sin( ), 2) вектор с ортогонален плоскости в которой лежат вектора а и б. 3) вектора а,б,с расположены таким образом, что из конца вектора с кратчайший поворот от вектора а к б виден против часовой стрелки.(правая тройка векторов)

Свойства векторного произведения:

1. [a,b]=-[b,a]

2. [a,b+c]=[a,b]+[a,c]

3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c]

4. [ ]= α[a,b]

5. [a,a]=0

Необходимость и достаточность условия коллинеарности векторов для того, чтобы а||б необходимо и достаточно, чтобы векторное произведение было равно 0. А||B если их координаты пропорциональны .

Геометрический смысл векторного произведения. |[a,b]|= площади параллелограмма, построенного на векторах а и б. Векторное произведение в координатной форме.

А={x1,y1,z1} b={x2,y2,z2}

[a,b]= = определитель 3-го порядка вычисл. По формуле:

I*| | - J*| | + K*| | Получаем определители 2-го порядка, которые вычисляются по формуле (y1*z2-z1*y2) получаем [a,b]={x3,y3,z3}

Смешенные произведения векторов

Смешенным произведением векторов называется число равное векторному произведению 2х векторов [a,b] скалярно умноженные на вектор c

([a,b],c)

Условие компланарности 3х векторов(лежат в одной плоскости) их смешенное произведение равно 0.Геометрический смысл смеш. Произв. – объем параллелепипеда построенного на векторах a,b,c численно равен их смешенному произведению. Смешенное произведение в координатной форме.

([a,b],c)= | | = x1*| | - y1*| |+ z1* | |

3. Плоскость и прямая в пространстве. Основные задачи о прямых и плоскостях.

Уравнение плоскости α проходящую через точку Мо перпендикулярн. Вектору A(x-x0)+B(y-y0)+c(z-z0)=0 Мо{x0,y0,z0} n{A,B,C} M{x,y,z}

Полученное уравнение является (ММо,n) n-нормальный вектор перпендик к плоскости α. Преобразуем уравнение A(x-x0)+B(y-y0)+c(z-z0)=Ax-Axo+By-Byo+Cz-Czo=0 D=-Axo-Byo-Czo – число Ax+By+Cz+D=0(общее уравнение плоскости)

Угол между плоскостями – угол, полученный при пересечении этих плоскостей, причем 1 из углов будет равен углу при пересечении нормальных векторов n1 и n2.

α: A1x+B1y+C1z+D1=0 n1={A1,B1,C1}

β: A2x+B2y+C2z+D2=0 n2={A2,B2,C2}

Из скалярного произведения векторов φ=arcos( ) =

Уравнение плоскости, проходящую через 3 данные точки.

М1(x1,y1,z1); M2(x2,y2,z2); M3(x3,y3,z3)

Тогда произведение точка пространства с координатами x,y,z будет принадлежать плоскости когда M1M, M1M3, M1M2 будут компланарны, а значит их смешенное произведение будет равно 0. (M1M,[M1M3,M1M2])=0

M1M{x-x1;y-y1;z-z1}

M1M2{x2-x1;y2-y1;z2-z1}

M1M3{x3-x1;y3-y1;z3-z1}

α: | | Решаем уравнение, приравниваем к 0 и получаем уравнение плоскости.

Уравнение плоскости в отрезках.

Рассмотрим общее уравнение плоскости α, которое не проходит через начало координат, при этом D≠0

α: Ax+By+Cz= ‑D|÷ (‑D) Вынесем в знаменатель A,B,C

a=(-D/A), b=(-D/B), c=(-D/c) – уравнение плоскости α в отрезках отсекаемых этой плоскостью от координатных осей. Плоскость заданную таким образом легко строить, т.к. она проходит через точки (a;0;0),(0;b;0), (0;0;c)

Уравнение плоскости проходящее через начало координат. D=0

Ax+Bx+Cx=0 Ax+By+D=0 –уравнение плоскости || OZ

N{0,0,1}, Ax+Cz+D=0 - || OY By+Cz+D=0 ||OX Ax+D=0 ||YOZ

Пример: найти расстояние от Мо {x,y,z} до плоскости α проходящей через точки М1{x1,y1,z1},М2{x2,y2,z2},М3{x3,y3,z3}. Для этого необходимо найти нормальный вектор n плоскости α, расстояние от Мо до α будет равен проекции ММо на n, т.е |MMo|*cos(β) β- угол между n и MMo. N=[M1M2,M1M3] (n,MMo)=|n|*|MMo|*cos(β).

Линия в пространстве – как частный случай – линия пересечения 2х плоскостей. Для решения щадач неудобно использовать общее уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой:

n1={A1,B1,C1} ǂǂ n2={A2,B2,C2}. Рассмотрим прямую D которая проходит через точку Мо{Xo,Yo,Zo}, которая принадлежит прямой D. A{l,m,n}-направляющий вектор прямой D. Тогда произвольная точка пространства M{x,y,z} будет принадлежать прямой D только тогда когда MoM||a.

MoM{x-xo;y-yo;z-zo}, если их координаты пропорциональны и

D=

Параметрическое уравнение прямой:

x=lt+xo y=yo+mt z=zo+nt ‑‑‑‑‑‑ параметрическое ур-е прямой.

Пример: составить каноническое уравнение прямой проходящ через 2 точки

М1(x1,y1,z1) M2(x2,y2,z2) ,берем любую из точек, лежащую на прямой к примеру М1, а за направляющий вектор возьмем вектор М1М2. Получим

=t Параметрическое уравнение прямой: x=tx2-tx1+x1

Y=ty2-ty1+y1, z=tz2-tz1+z1 Общее уравнение прямой: D-линия пересечения бесконечного множества плоскостей в том числе и следующих 2х.

(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1) (x-x1)/(x2-x1)=(z-z1)/(z2-z1)

Подставив числа получим неполное уравнение плоскости. Одна или даже 2 координаты направляющего вектора прямой могут равняться 0, т.е. в каноническом уравнении в знаменателе может стоять 0, и это будет не деление на 0, а отношением к 0.

Составление канонического уравнения прямой как пересечение 2х плоскостей.

D= Любая прямая в пространстве пересекает хотя бы одну координатную плоскость, поэтому за точку прямой можно взять точку пересечения данной плоскости и и координатной плоскости приравняв соответствующую координату к 0. Если при этом получится система, которая не имеет решений, значит данная прямая не пересекает данную плоскость и следует рассмотреть точку пересечения этой прямой с какой-нибудь другой плоскостью. Получим несколько точек лежащих на данной прямой. Направляющий вектор нашей прямой || последней следовательно он || заданным плоскостям и перпендикулярен нормальным векторам наших плоскостей, а это значит что направляющий вектор А=[n1,n2]. Находим произведение и подставляем в уравнение D=

Найти Точку пересечения прямой D и плоскости α. Прямая пересекает плоскость в 1м месте, если направляющий вектор А, прямой D не перпендикулярен нормальному вектору n плоскости. (n,a)≠0, тогда есть точка пересечения. Для нахождения необходимо приравнять параметрическое уравнение прямой к уравнению плоскости.

Найти координаты проекции в точке Р(1.0.1) на плоскость : 4x+6y+4z-25=0

Проекция P есть точка пересечения прямой D проходящей через точку Р и плоскость α. Нормаль к - направляющий вектор прямой D. Составляем параметрическое уравнение прямой и решаем систему.

Найти точку симметричную точке Р(1.-1.3) относительно прямой d: Строим плоскость α, которой будет принадлежать точка Р, причем α перпендикулярна d, cледовательно нормальный вектор к плоскости α равен направляющему вектору прямой D. N=a{1;-1;1} ур-е плоскости

1(x-0)-1(y+1)+1(z-3)=0 α: x-y+z-4=0 Теперь найдем точку пересечения прямой и плоскости приравняв уравнения прямой и плоскости. Q=(2;-1;1) Вектор PQ равен вектору P1Q Следовательно Q – середина PP1

X(q)= Находим Xp1 также для координат y и z и получаем точку симметричную данной относительно прямой.

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Прямые а || b если их направляющие векторы ||.

Найдем расстояние от точки Мо(xo,yo,zo) до прямой D в пространстве. D= M1(x1,y1,z1) a1||a a1принадлежит d достроим до параллелограмма М1Мо={xo-x1,yo-y1,z0-z1} s=|[M1Mo,a]| s=|a1|*h

H=

Расстояние между скрещивающимися прямыми.

А: = B:=

Их направляющие вектора равны a1 и a2

Возьмем 2 точки М1 на а и М2 на b M1M2={x2-x1;y2-y1;z2-z1}

H=