видимость очерков поверхностей на плоскостях проекций.

Д33. Теорема Монжа

Теорема: если две поверхности второго порядка описаны около третьей

или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые

поверхности вращения второго порядка могут быть описаны около сферы или вписаны в нее (рис.114 - 117).

Построение фронтальных проекций линий пересечения поверхностей,

описанных около сферы, показано на рис.114 и 115.

Линии пересечения представляют собой эллипсы, проходящие через опорные точки А и В, С и D. Плоскости этих эллипсов пересекаются по прямой,

соединяющей M и N – точки касания поверхностей.

Фронтальные проекции линий пересечения двух цилиндров по эллипсам,

проходящим через точки А и В, С и D, изображены на рис.116. Для построения точки D продолжены очерковые образующие цилиндров до их взаимного пересечения.

92

Д34. Пересечение двух плоскостей общего положения. Алгоритм решения

Общим геометрическим элементом двух плоскостей является прямая.

общую точку и направление линии пересечения плоскостей.

Основным способом нахождения точек является способ вспомогательных

секущих плоскостей.

Рис.118

Для нахождения каждой точки пересечения используется следующий алгоритм.

1.Обе заданные плоскости α и β пересекают вспомогательной плоскостью

γ(рис.118).

общую точку заданных плоскостей.

Символически алгоритм построения точкиМ записывается следующим образом:

96

В соответствии с алгоритмом:

1) обе заданные плоскостиα(α||b) и β(∆СДЕ) пересекаются вспомогательной плоскостью уровняγ. На рис. 120 плоскость γ изображена фронтальной проекцией γ2. Построение плоскостей уровня рассмотрено в Д14;

2)строятся горизонтали 12 и 34, по которым плоскость пересекает каждую из заданных плоскостей ( рис.121);

3)точку М – общую точку плоскостей α и β находят в пересечении построенных горизонталей 12 и 34;

На чертеже определяется сначала горизонтальная проекция М1 точки М, а

затем фронтальная М2 (рис.121);

4)еще одну общую точку плоскостейα и β, точку Ν, находят с помощью плоскости δ, которую проводят через точку D параллельно плоскости γ;

5)линии пересечения 56 и 7D плоскости δ с плоскостямиα и β

соответственно параллельны горизонталям 12 и 34;

6) точка Ν определяется в пересечении построенных прямых 56 и 7D;

7) Прямая пересечения плоскостейα и β проходит через точкиМ и Ν–

общие точки этих плоскостей (рис.122 ).

Анализ решения. Задача имеет единственное решение, так как можно

построить единственную прямую, по которой пересекутся заданные плоскости.

97

35.Пересечение прямой общего положения

сплоскостью общего положения. Алгоритм решения

Общим геометрическим элементом пересекающихся прямой и плоскости является точка.

В том случае, когда прямая и плоскость занимают общее положение, задача на нахождение точки пересечения прямой с плоскостью решается с помощью вспомогательной секущей плоскости по следующему алгоритму:

1)через заданную прямуют проводится вспомогательная секущая плоскость β (рис.124);

2)определяется прямая 12 пересечения вспомогательной β и заданнойα

(∆АВС) плоскостей;

3) искомая точка К определяется в пересечении заданнойпрямой m и

построенной прямой 12.

Рис.124

В качестве вспомогательной чаще всего выбирается проецирующая плоскость. Ее выбор обеспечивает наиболее рациональное решение данной задачи.

98

ЗАДАЧА. Найти точку К пересечения прямойm с плоскостьюa ( АВС)

(рис.125). Определить видимость прямой относительно плоскости α.

Анализируя условия задачи устанавливается:

-известное: прямая m – общего положения; плоскость α – общего положения;

-неизвестное: точка К - общий геометрический элемент прямой m и плоскости α.

99

Так как оба известных (прямая и плоскость) занимают общее положение,

то решение задачи ведется в соответствии со следующим алгоритмом:

1.Через заданную прямую m проводится горизонтально проецирующая плоскость β. Ее горизонтальная проекцияβ1 совпадает с горизонтальной проекцией m1прямой m (рис.126). (Построение проецирующей плоскости через прямую рассмотрено в Д 13.)

2.Строится прямая 12 пересечения вспомогательной проецирующей плоскости β и заданной плоскости общего положенияα (АВС). (Методика решения задач такого типа рассмотрена в Д 22.

Вначале определяются горизонтальные проекции 11 и 21 точек прямой 12.

Они находятся в пересеченииβ1 с горизонтальными проекциями А1В1 и

А1С1 сторон ∆АВС. Фронтальные проекции точек12 и 22 строятся с помощью линий связи (рис.127).

3. Точка К пересечения заданных прямойm и плоскости α(∆ АВС)

находится в пересечении прямых12 и m. Сначала определяется фронтальная проекция К2 и точки К в пересечении фронтальных проекцийm2 (заданной прямой) и 12 22 (построенной прямой). Горизонтальная проекция К1 строится на m1 на основе принадлежности точки К прямой m (рис. 127).

Решение задачи заканчивается определением видимости прямойm

относительно плоскости ∆АВС с помощью конкурирующих точек прямой и какой-либо стороны треугольника

(определение видимости геометрических фигур с помощью конкурирующих точек рассмотрено в дозе Д 10).

Задача на нахождение точки пересечения прямой с плоскостью относится к числу основных позиционных задач и входит как составная часть в алгоритмы решения комплексных позиционных и метрических задач курса и инженерного дела.

Рассмотренная в данной дозе методика решения задачи должна быть хорошо усвоена, поэтому рекомендуется подобрать и самостоятельно решить несколько аналогичных задач.

т1

Рис.129