71
на чертеже без дополнительных построений: совпадают с проекциями плоскости (α2, β2) или с проекцией цилиндра(с окружностью горизонтального очерка).
Рис.88
Д25. Конические сечения
При пересечении конуса вращения плоскостью могут быть получены кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола и гипербола или в частном случае две прямые– образующие конуса. Наглядные изображения конических сечений приведены на рис. 89 - 92. Фронтальные проекции линий сечения конуса плоскостью - на рис. 93 – 95.
Окружность может быть получена в том случае, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса (рис. 89). Радиус окружности r равен расстоянию от оси конуса до его очерковой образующей (рис. 93).
Эллипс может быть получен в том случае, если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конуса (рис. 89 и 93).
72
Парабола может быть получена в том случае, если секущая плоскость
параллельна одной образующей конуса (рис. 90 и 94).
Две образующие могут быть получены в том случае, если секущая плоскость проходит через вершину конуса (рис. 92 и 95).
Гипербола может быть получена в том случае, если секущая плоскость
параллельна двум образующим конуса(в частном случае параллельна его оси)
(рис. 91 и 95).
Построение проекций сечения конуса плоскостьюα дано на рис. 96.
Заданная плоскость – фронтально-проецирующая. Она не параллельна ни одной из образующих конуса, поэтому в сечении получается эллипс. Построение
эллипса возможно, если известны размеры его осей. Большая ось АВ эллипса проецируется на фронтальную плоскость без искажения и равна отрезкуА2В2.
Малая ось CD эллипса проецируется на фронтальную |
плоскость проекций в |
|
точку (C2 º D2), расположенную в середине отрезкаА2В2. Величина малой оси |
||
CD определяется на горизонтальной проекции |
из |
условия принадлежности |
точек C и D поверхности конуса и равна отрезку C1D1. Для построения точек C1 |
||
и D1 через точки C и D на поверхности конуса |
проводится вспомогательная |
|
окружность, на горизонтальной проекции которой находятся точки C1 и D1.
окружность
парабола
эллипс
Рис.89 |
Рис.90 |
73
две образующие
гипербола
Рис.91 |
Рис.92 |
окружность
парабола гипербола
эллипс
|
|
|
две образующие |
Рис.93 |
Рис.94 |
Рис.95 |
|
|
S2 |
|
|
a2 |
|
|
|
А |
(C )=D |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
B2 |
|
|
C |
|
|
|
1 |
|
|
А1 |
S1 |
|
B1 |
|
|
||
|
D1 |
|
|
|
Рис.96 |
|
|
74
Д26. Сферические сечения
|
Сечение сферы любой плоскостью представляет собойокружность. Проекции |
||||||||||||
линий сечения сферы показаны на рис. 97 и 98. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Окружность сечения может проецироваться: |
|
|
|
|
|
|||||||
- |
в |
виде отрезка прямой, |
если |
секущая плоскость |
перпендикулярна |
||||||||
|
плоскости проекций (отрезок А2В2 на рис.97, 98); |
|
|
|
|
|
|||||||
- |
в |
виде окружности, |
если |
секущая |
плоскость |
параллельна |
|
плоскости |
|||||
|
проекций (окружность m1 на рис. |
97). Величина диаметра d |
окружности |
||||||||||
|
сечения определяется отрезком(А2В2) |
проекции |
|
секущей |
плоскости, |
||||||||
|
расположенным внутри очерка сферы. Проекция центра окружностиО2 |
||||||||||||
|
находится на середине этого отрезка; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
- |
в виде эллипса, если |
секущая плоскость |
наклонна |
к |
плоскости |
проекций |
|||||||
(эллипс |
n1 на |
рис.98). |
Построение |
горизонтальной |
проекции |
эллипса |
|||||||
производится по точкам по условию их принадлежности поверхности сферы по алгоритму, рассмотренному в Д22.
|
|
|
|
n2 |
В2 |
А2 |
|
В2 |
|
|
|
|
b2 |
C =(D ) |
|||
m |
|
|
|
2 |
2 |
О |
|
|
M2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
1 |
А |
О |
В |
А1 |
|
В1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
m |
M |
n1 |
|
|
|
1 |
C |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
Рис. 97 |
|
|
|
Рис. 98 |