67
1. Без дополнительных построений определяется фронтальная проекция
К2 точки К в пересечении m2Çα2 (фронтальных проекций прямой и плоскости α
) (рис. 83).
2. Горизонтальная проекция К1 точки К должна определяться из условия принадлежности точки К прямой m, поэтому задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью может быть переформулирована следующим образом: определить недостающую проекциюК1 точки К, принадлежащей прямой m.
Горизонтальная проекция К1 искомой точки К строится с помощью вертикальной линии связи на прямой m1 (К1Ì m1 ).
Анализ решения. Задача имеет единственное решение, так как прямая m с
плоскостью α пересекается в единственной точке К.
Д23. Сечения кривых поверхностей
При пересечении поверхности плоскостью получается плоская фигура,
которая называется сечением.
Плоское сечение кривой поверхности в общем случае представляет собой плоскую кривую, которая в частном случае может преобразоваться в одну или две прямые.
Решение задачи следует начинать с анализа заданных геометрических фигур (поверхности и плоскости) и определения вида искомой плоской кривой
(окружность, гипербола, эллипс и т.д.).
Кривая линия может быть построена или по принадлежащим ей точкам,
или по известным параметрам, например радиусу окружности, большой и малой оси эллипса и т.д.
Построение проекций линии сечения следует начинать с определения опорных точек, т.е. точек, определяющих границы, характер и видимость кривой по отношению к плоскостям проекций.
К числу опорных точек относятся:
68
1)высшая и низшая точки – наиболее и наименее удаленные от той или иной плоскости проекций;
2)точки видимости – точки, разделяющие кривую на видимый и невидимый участки (они расположены на очерковых линиях поверхности);
3)наибольшей и наименьшей ширины кривой;
4)характерные точки кривой: точки перегиба, излома и др.
После определения опорных точек находят промежуточные точки. Число их должно быть достаточным для построения проекций сечения.
|
|
А2 |
a |
|
|
2 |
|
C =D |
12 =22 |
|
|
2 |
2 |
|
|
В2 |
|
|
|
|
C |
11 |
|
B1 |
1 |
|
|
|
A1 |
|
|
|
D |
21 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Рис.84 |
|
ЗАДАЧА. Построить линию пересечения поверхности тора плоскостьюα (α2 )
(рис.84).
Анализируя условие задачи, устанавливается:
69
-известное: поверхность тора – общего вида; плоскость α – фронтально проецирующая;
-неизвестное: линия сечения – общий геометрический элемент поверхности тора и плоскости α.
Свойства известного: прямая α2 - фронтальная проекция плоскостиα обладает собирательным свойством, т.е. на эту прямую проецируются все точки и линии, принадлежащие плоскости α, а значит, и неизвестное – линия сечения.
Решение задачи ведется в соответствии с алгоритмом: фронтальная проекция линии сечения известна: это отрезок А2 В2, расположенный на α2 в
пределах фронтального очерка тора. |
|
|
|
|
|
|
Горизонтальная |
проекция |
строится |
по |
точкам |
по |
условию |
принадлежности поверхности тора. Сначала строятся характерные точки А1, В1,
С1, D1 , определяющие размеры большой и малой осей эллипса. Высшая точка А
и низшая В принадлежат главным меридианам поверхности . Ихтора
горизонтальные проекции лежат на горизонтальной оси окружности основания
тора. Точки С и D находятся в середине большой оси(В С =А D ), их
2 2 2 2
горизонтальные проекции строятся с помощью окружности тора, проведенной через эти точки. Построив промежуточные точки1 и 2, найденные точки эллипса на горизонтальной плоскости соединяются плавной кривой.
Частные виды плоских сечений
(цилиндрические, конические, сферические)
При пересечении частных видов поверхностей вращения плоскостью получаются заранее известные кривые (окружность, парабола, гипербола и др.),
которые могут быть построены по основным параметрам, определяющим эту кривую (например, радиус окружности, большая и малая оси эллипса и др.).
70
Д24. Цилиндрические сечения
При пересечении цилиндра вращения плоскостью могут быть получены линии,
наглядные изображения которых даны на рис. 85 - 87.
a |
b |
|
окружность
эллипс |
g |
две прямые |
|
Рис. 85 |
Рис. 86 |
Рис. 87 |
Изображения проекций линий плоских сечений цилиндра приведены на рис. 88.
Окружность получается в том случае, если секущая плоскостьα перпендикулярна оси цилиндра (рис. 85). Диаметр окружности сечения равен диаметру цилиндра (рис. 88).
Эллипс образуется в том случае, если секущая плоскостьβ не параллельна ни одной образующей цилиндра (рис. 86). Большая ось АВ эллипса равна отрезку А2В2, малая ось CD равна диаметру цилиндра (рис. 88).
Две прямые (образующие) получаются в том случае, если секущая плоскость γ параллельна оси цилиндра(рис. 87). На рис. 88 это образующие,
проходящие через точки 1 и 2.
Так как цилиндр является горизонтально-проецирующим, а каждая из секущих плоскостей тоже занимает проецирующее положение, то построение проекций линий пересечения на плоскостях П1 и П2 не требуется: они находятся